A jelfeldolgozás matematikai alapjai

Kovács György

Debreceni Egyetem, Informatikai Kar

A tananyag a TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0103 azonosítójú pályázat keretében valósulhatott meg.

Új Széchenyi Terv logó

Magyarország megújul logó

2014


Tartalom

1. Előszó
2. Matematikai alapok
Trigonometrikus függvények
Összegekhez és szorzatokhoz kapcsolódó azonosságok
Trigonometrikus egyenlőtlenségek
Differenciálszámítás
Hatványsorok
Komplex számok
A komplex számok definíciója és tulajdonságai
Egységgyökök és tulajdonságaik
Feladatok
3. Jelek és hullámok
A jel és jelfeldolgozás meghatározása
Hullámok a fizikában
Mechanika
Elektromágnesség
A periodikus hullámok paraméterei
Interferenciajelenségek
Azonos frekvenciájú hullámok összege
Különböző frekvenciájú hullámok összege
Lebegés
Hullámcsomag
A jelek osztályozása
A jelfeldolgozás feladatai
Összefoglalás
Feladatok
4. Fourier-együtthatók
Hilbert-terek
Ortogonalitás
A Fourier-együttható fogalma
Példa
Összefoglalás
Feladatok
5. Fourier-sorfejtés
Jean Baptiste Joseph Fourier
A négyzetesen integrálható függvények tere
A valós trigonometrikus rendszer
Valós függvények Fourier-sorfejtése
Példa
A komplex trigonometrikus rendszer
Példa
A valós és komplex Fourier-sorfejtés kapcsolata
A Fourier-sorfejtés tulajdonságai
A Fourier-sorfejtés általánosítása L-periodikus függvényekre
Konvergenciatulajdonságok (kiegészítés)
Összefoglalás
Feladatok
6. A folytonos Fourier-transzformáció
A folytonos Fourier-transzformáció definíciója
Példa
A Fourier-transzformált létezése és konvergenciája (kiegészítés)
A folytonos Fourier-transzformáció tulajdonságai
Korreláció és konvolúció
Nevezetes Fourier-transzformációs párok
A Fourier-transzformáció és a Fourier-sorfejtés kapcsolata
A Fourier-transzformáció, mint a Fourier-sorfejtés határesete
Periodikus függvények Fourier-transzformáltja
Folytonos Fourier-transzformáció a természetben
Fraunhofer-diffrakció
A Heisenberg-féle határozatlansági reláció
Alkalmazások
Összefoglalás
Feladatok
7. Mintavételezés
A mintavételezési tétel
A Dirac-fésű és tulajdonságai
A Shannon–Nyquist-féle mintavételezési tétel
Példa
A Shannon–Whittaker-féle interpolációs formula
Példa
Alkalmazások
Véges számú minta vételezésével kapcsolatos jelenségek
Periodikus jelek spektruma a periódustól különböző intervallumon
A mintaszám növelése
Ablakozó függvények használata
Bitmélység, kvantálás
Összefoglalás
Feladatok
8. Diszkrét Fourier-transzformáció
A diszkrét Fourier-transzformáció bevezetése Fourier-sorfejtésből
A diszkrét Fourier-transzformáció bevezetése a Hilbert-téren
Példa
A diszkrét Fourier-transzformáció tulajdonságai
Gyors Fourier-transzformáció
Többdimenziós diszkrét Fourier-transzformáció
A Fourier-spektrum megjelenítése
Alkalmazások
Frekvenciaanalízis
Frekvenciaszűrés
Lineáris konvolúciós szűrés
Veszteséges tömörítés
Összefoglalás
Feladatok
9. Diszkrét koszinusz transzformáció
Folytonos szinusz és koszinusz transzformációk
A diszkrét koszinusz-transzformáció levezetése diszkrét Fourier-transzformációból
Példa
A diszkrét koszinusz transzformáció variánsai
DCT-I
DCT-II
DCT-III
DCT-IV
DCT-V
DCT-VI
DCT-VII
DCT-VIII
A diszkrét koszinusz transzformáció tulajdonságai
Gyors DCT-transzformáció
Többdimenziós diszkrét koszinusz transzformáció
Alkalmazások
MP3-tömörítés
JPEG-tömörítés
Összefoglalás
Feladatok
10. További ortogonális transzformációk
A diszkrét Walsh–Hadamard-transzformáció
A transzformáció bevezetése
Alkalmazások
Diszkrét wavelet transzformációk
A transzformációk bevezetése
Haar-waveletek
Alkalmazások
Összefoglalás
Feladatok
11. Utószó
A. Függelék
A vizsgált vektor
Irodalomjegyzék