7. fejezet - Mintavételezés

Tartalom

A mintavételezési tétel
A Dirac-fésű és tulajdonságai
A Shannon–Nyquist-féle mintavételezési tétel
Példa
A Shannon–Whittaker-féle interpolációs formula
Példa
Alkalmazások
Véges számú minta vételezésével kapcsolatos jelenségek
Periodikus jelek spektruma a periódustól különböző intervallumon
A mintaszám növelése
Ablakozó függvények használata
Bitmélység, kvantálás
Összefoglalás
Feladatok

„Az elméleti fizika módszerei a gondolkodás minden olyan területén használhatók, ahol a lényeges dolgokat kifejezhetjük számokkal.”

Paul Dirac

Jelen fejezet első felében a jelfeldolgozás alapvető fontosságú eredményével, a Shannon–Nyquist-féle mintavételezési tétellel[16], illetve ehhez kapcsolódóan a Shannon–Whittaker-féle interpolációs formulával ismerkedünk meg. A mintavételezési tétel választ ad arra, hogy milyen sűrűséggel kell mintákat vennünk egy függvényből (jelből) ahhoz, hogy azt a mintákból hibátlanul rekonstruálni tudjuk. A Shannon–Whittaker-formula a jel rekonstrukciójának módját adja meg. A fejezet második felében azt vizsgáljuk, hogy hogyan torzul a mintavételezett jel információtartalma, spektruma, ha a mintavételezést az ideális, végtelen sok helyett csak véges számú időpillanatban végezzük.

A fejezet befejeztével eljutunk oda, hogy a jelfeldolgozás eredményei által megalapozott módon tudunk egy jelből számunkra megfelelő tulajdonságokkal rendelkező diszkrét, kvantált számsorozatot, azaz egy vektort előállítani. A jegyzet hátralévő részében a folytonos függvények vizsgálatáról áttérünk a mintavételezett vektorok vizsgálatára, s bemutatjuk, hogy a Fourier-transzformáció kapcsolódó alkalmazásait.

A mintavételezési tétel

A Dirac-fésű és tulajdonságai

A Dirac-fésű

A mintavételezési folyamatot matematikailag az ún. Dirac-fésű függvénnyel történő pontonkénti szorzással modellezzük.

7.1.1. Definíció. (Dirac-fésű függvény) A Dirac-fésű függvény adott T periódussal eltolt Dirac-delta függvények végtelen összege, azaz

A későbbiekben T jelöli majd a mintavételezési időt, azaz azt az időtartamot, amely két egymást követő minta vételezése között telik el.

7.1.1. Tétel. (A Dirac-fésű Fourier-sorfejtése és transzformáltja) A Dirac-fésű függvény Fourier-sorfejtése

és Fourier-transzformáltja

Bizonyítás. Mivel a Dirac-fésű függvény periodikus T periódussal, azaz , alkalmazhatjuk rá a periodikus függvények Fourier-sorfejtését. Ekkor a Fourier-sorfejtés alakja a következő

ahol

és -t módon definiáljuk. Az szorzó faktorra nyilvána azért van szükség, mert a függvény nem szerint, hanem T szerint periodikus. A felírásban természetesen konstans, amely csak a T értéktől függ. Kihasználva, hogy a Fourier-együtthatókat tetszőleges T hosszúságú intervallumon kiszámíthatjuk, válasszuk a intervallumot:

Mivel a transzformációban használt ortogonális függvények az komplex hullám függvények, behelyettesítve a Fourier-együtthatókat a Fourier-sorfejtésbe,

adódik. A Dirac-fésű Fourier-transzformáltja a Fourier-transzformáció linearitását kihasználva

Kihasználva az idő eltolásra és a Dirac-delta Fourier-transzformáltjára vonatkozó állításokat,

Ebből

Vessük össze az utóbbi Fourier-transzformáltat a Dirac-fésű Fourier-sorfejtésével. Azt kll látnunk, hogy a kifejezések hasonló alakúak. Egészen pontosan a Fourier-sorfejtés n változója a Fourier-transzformált n változójának felel meg, a sorfejtésben szereplő függvény t paramétere a transzformált paraméterének felel meg, míg a konstans a transzformált T konstansának. Így tekintve a Fourier-transzformáltat, tekinthetjük azt egy Dirac-fésű sorfejtéssel történő előállításának, ahol a komplex hullámfüggvények az egyes Dirac-delták eltolásából származnak, azaz

7.1.1. Megjegyzés.

  1. Az előző állítás legfontosabb következménye hogy egy Dirac-fésű függvény Fourier-transzformáltja is egy Dirac-fésű függvény. Vegyük észre, mekkora különbség van egy periodikus és nem-periodikus függvény Fourier-transzformáltja között: egy Dirac-delta Fourier-transzformáltja egy konstans, míg végtelen sok Dirac-delta összegének, azaz a Dirac-fésűnek a Fourier-transzformáltja már egy Dirac-fésű.

  2. Az időtartományban növelve a Dirac-delták sűrűségét, a Fourier-térben csökkenni fog a sűrűségük, azaz nő a távolságuk, és fordítva. Ezen tulajdonság analóg a Fourier-transzformáció idő és frekvenciaskálázásra vonatkozó tulajdonságával, illetve a Gauss-féle sűrűségfüggvény Fourier-transzformációjánál megfigyelt jelenséggel: ha megfelelő paraméterezéssel egy függvényt időtartományban az origó köré húzunk össze, akkor Fourier-transzformáltja elnyúlik az tengely mentén és fordítva.

Konvolúció a Dirac-deltával és Dirac-fésűvel

A konvolúciót, mint műveletet már az előző fejezetben bevezettük. Vizsgáljuk meg, hogy mi történik, ha egy függvényt a Dirac-deltával, vagy Dirac-fésűvel konvolválunk.

Emlékeztetőül a konvolúció definíciója

A Dirac-deltával történő konvolúció eredménye könnyen meghatározható, ha arra gondolunk, hogy a függvény integrál kifejezésben az integrandus függvényértékét eredményezi azon a helyen, ahol értéke zérus. Ennek megfelelően

A függvénnyel történő konvolúció esetén

azaz a konvolúció egy a értékkel történő eltolásnak felel meg.

Vizsgáljuk meg, hogy mi történik ha egy függvényt egy függvénnyel konvolválunk! Az integrál linearitását kihasználva

azaz a függvényből két másolat készül, az egyik a-val, a másik -val eltolva, mitöbb, a másolatok összeadódnak. Példaként tekintsük az és függvénnyel történő konvolúció eredményét, amit a 7.1. ábrán vizualizáltunk.

7.1. ábra. A Dirac-deltával történő konvolúció szemléltetése

    7.1-a. A konvolválandó függvények

    7.1-b. A konvolúció eredménye

Vizsgáljuk meg, mi történik, ha egy függvényt a függvénnyel konvolváljuk!

vagyis az f függvényből végtelen sok másolat készül, s ezek értékei pontonként összeadódnak. Példaként tekintsük az és függvények konvolúcióját, aminek eredményét a 7.2. ábrán vizualizáltuk.

7.2. ábra. A Dirac-fésűvel történő konvolúció eredménye

    7.2-a. A konvolválandó függvények

    7.2-b. A konvolúció eredménye

A Shannon–Nyquist-féle mintavételezési tétel

7.1.2. Definíció. (Mintavételezés) Mintavételezésnek nevezzük azt a folyamatot, amikor egy folytonos függvényt diszkrét függvénnyé redukálunk. Az függvény T mintavételezési idővel történő mintavételezésével kapott függvényt módon jelöljük.

A mintavételezés témakörének fő kérdése az, hogy milyen körülmények között lesz az eredeti függvénye visszaállítható a mintákból, azaz milyen körülmények között, mely feltételek teljesülése esetén tudjuk hibátlanul visszaállítani -ből?

7.1.3. Definíció. (Körfrekvencia-korlátos függvény) Jelölje a függvény Fourier-transzformáltját, ha létezik olyan , szám, amelyre , ha , akkor az függvényt körfrekvencia-korlátosnak nevezzük B korláttal.

Egy frekvenciakorlátos függvény tehát azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy Fourier-transzformáltja csak egy véges origó körüli környezetben vesz fel nullától különböző értéket.

7.1.2. Tétel. (Shannon–Nyquist-féle mintavételezési tétel) Legyen f egy körfrekvencia-korlátos függvény B korláttal. Ekkor a függvény hiba nélkül előállítható a mintáiból, ha a mintavételezés körfrekvenciájára

teljesül, azaz a mintavételezési időköz . Körfrekvencia helyett frekvenciával kifejezve és .

Bizonyítás. Az előző fejezetben megismerkedtünk a Fourier-transzformációval, s beláttuk, hogy egy függvény az Fourier-transzformáltjából egyértelműen előállítható, és a függvénytérben használt metrika tekintetében kölcsönösen egyértelműen meghatározzák egymást, az -ból inverz Fourier-transzformációval előálló függvény és távolsága zérus. Egy mintavételezett függvényből az eredeti függvényt rekonstruálhatjuk, ha a mintavételezett függvény Fourier-transzformáltjából valamilyen módon ki tudjuk szűrni az eredeti függvény Fourier-transzformáltját. Erre ugyanis inverz Fourier-transzformációt alkalmazva visszakapjuk az eredeti függvényt.

Nézzük, mi történik frekvenciatérben a mintavételezés során.

A konvolúciós tétel alapján az eredeti függvény és a Dirac-fésű pontonkénti szorzatának Fourier-transzformáltja a függvények Fourier-transzformáltjainak konvolúciójaként is megkapható, azaz

ahol -vel jelöltük Fourier-transzformáltját.

Feltételeztük, hogy az f függvény körfrekvencia-korlátos, azaz Fourier-transzformáltja csak a intervallumban tartalmaz nem 0 együtthatókat. A Dirac-fésű Fourier-transzformáltjáról pedig tudjuk, hogy az is egy Dirac-fésű lesz. Ismerve a Dirac-fésűvel vett konvolúció tulajdonságait, a mintavételezett függvény Fourier-transzformáltja az eredeti függvény Fourier-transzformáltjainak másolataiból fog állni. A másolatok a Dirac-fésű Fourier-transzformáltjának Dirac-deltáiba lesznek eltolva, ezek pedig éppen periódussalhosszal követik egymást a frekvenciatérben.

Az eredeti és mintavételezett függvény Fourier-transzformáltjai tehát abban különböznek, hogy a mintavételezett függvény Fourier-transzformáltja az eredeti függvény periodikus másolatainak összegeként áll elő.

A mintavételezett függvény Fourier-transzformáltjából () úgy nyerhetjük ki az eredeti függvény Fourier-transzformáltját (), hogy annak másolatai közül kimaszkolunk egyet, azaz pontonként szorozzuk egy olyan függvénnyel, amely a tartományban 1-et, azon kívül pedig 0-t vesz fel. Másként fogalmazva pontonként szorozzuk egy megfelelően paraméterezett függvénnyel.

Legyen a mintavételező Dirac-fésű körfrekvenciája Fourier-térben. Frekvenciatérben az másolatai éppen távolságra kerülnek egymástól. Optimális esetben, ha a másolatok nem érnek össze, így nem fednek át, a

függvénnyel történő pontonkénti szorzás éppen egy példányát fogja eredményezni, azaz

teljesül, így az függvényt inverz Fourier-transzformációt alkalmazva visszakaphatjuk, nevezetesen

Ahhoz azonban hogy ez működjön, teljesülnie kell annak a feltételnek, hogy frekvenciatérben az másolatai nem fednek át. Ennek pedig az a feltétele, hogy a körfrekvenciakorlátra teljesül, azaz . Körfrekvenciáról frekvenciára áttérve a reláció nem változik: , , így kell, hogy teljesüljön. Időtartományban a mintavételezési időre adódik.

A Shannon-Nyquist-féle mintavételezési tétel a jelfeldolgozás elméletének egyik legfontosabb eredménye, mivel ismerve egy jel fizikai tulajdonságait, a tétel segítségével meghatározhatjuk azt a mintavételezési időt, mely használata esetén az eredeti jel hibátlanul visszaállítható.

7.1.2. Megjegyzés.

  1. Megjegyezzük, hogy a Shannon-Nyquist tétel nem ad szükséges feltételt egy jel visszaállíthatóságára, a csak elégséges feltétel. Ha a feltétel teljesül, a jel biztosan hibátlanul rekonstruálható. Speciális esetekben azonban akkor is rekonstruálható a jel, ha a feltétel nem teljesül.

  2. A tétel csak alsó korlátot ad a mintavételezési körfrekvenciára, így végtelen sok olyan mintavételezési idő van, ami teljesíti ezt a feltételt. Ugyanakkor általában a korláthoz közel eső, a feltételnek még éppen megfelelő körfrekvenciákat szoktunk választani, ugyanis minél nagyobb mintavételezési frekvenciát választunk, annál kisebb lesz a mintavételezési idő, azaz annál több mintát kell vennünk egységnyi idő alatt. Mivel számítógépes mérőrendszerek esetén a rendelkezésre álló tárkapacitás véges, ezért célszerű egységnyi idő alatt a lehető legkevesebb mintát vételezni, így a lehető legnagyobb mintavételezési időt és legkisebb mintavételezési frekvenciát választani.

7.1.4. Definíció. (Aliasing) Azt a jelenséget, amikor a rosszul megválasztott mintavételezési frekvencia miatt a mintavételezett függvény Fourier-transzformáltjában az eredeti függvény Fourier-transzformáltjának másolatai összeérnek, aliasing-nak nevezzük.

Aliasing esetén nem tudjuk előállítani az eredeti függvény spektrumát a mintavételezett függvény spektrumából, mert az átfedő részeken a spektrum másolatai a konvolúció miatt összeadódnak és ezek szétválasztásához nem rendelkezünk információval.

7.1.5. Definíció. (Nyquist-(kör)frekvencia) A Shannon-Nyquist-tételben szereplő, megengedett mintavételezési (kör)frekvenciák alsó korlátját Nyquist-(kör)frekvenciának nevezzük.

Példa

A Shannon–Nyquist-tételt és bizonyítását sematikusan a 7.3. ábrán szemléltetjük. Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy a függvény, melyből mintavételezni kívánunk a

függvény (7.3-a. ábra). Tudjuk, hogy a függvény Fourier-transzformáltja a

amit a 7.3-c. ábrán vizualizáltunk. Emlékeztetőül a háromszögfüggvény explicit alakja:

így könnyen látható, hogy a függvény körfrekvenciakorlátos korláttal. Ennek megfelelően a mintavételezési körfrekvenciára kell, hogy teljesüljön. Válasszuk a Nyquist-frekvenciát, azaz , s így a mintavételezési időre adódik. Ebből kifolyólag a mintavételező Dirac-fésű

lesz (7.3-b. ábra). A mintavételező Dirac-delta Fourier-transzformáltja

amit a 7.3-d. ábrán jelenítettünk meg. A mintavételezés eredményeként előálló pontokat a 7.3-e. ábrán reprezentáljuk, míg a mintavételezett függvény Foureir-transzformáltját a 7.3-f. ábrán. Jól látható, hogy a Nyquist-frekvencia kiválasztása miatt a Fourier-transzformált másolatai éppen nem érnek össze, így egy megfelelően paraméterezett függvénnyel pontonként szorozzuk, ki tudunk nyerni egyet közülük. A 7.3-g. ábrán az említett függvény látható, míg a 7.3-h. ábrán a pontonkénti szorzás eredményeként megkapott egyetlen függvény. A szemléletesség kedvéért a 7.3-h. ábrán szaggatott vonallal ábrázoltuk azon másolatokat, amelyek a -tel való pontokkénti szorzás hatására eltűnnek.

7.3. ábra. A mintavételezés szemléltetése

    7.3-a. A mintavételezendő függvény

    7.3-b. A mintavételező Dirac-fésű

    7.3-c. A Fourier-transzformáltja

    7.3-d. A Dirac-fésű Fourier-transzformáltja

    7.3-e. A mintavételezés

    7.3-f. A mitnavételezés hatása frekvenciatérben

    7.3-g. A maszkolásra használt függvény

    7.3-h. A maszkolás eredményeként csak a középső függvény marad.

A Shannon–Whittaker-féle interpolációs formula

Az előző szakaszban a Shannon–Nyquist tétellel elégséges feltételt adtunk arra, hogy mikor rekonstruálhatunk egy függvényt pontosan annak mintáiból. A feltétel kimondásához nem kellett a függvény rekonstrukciójának módját megfogalmaznunk, elegendő volt felvázolni annak menetét. Jelen fejezetben megvizsgáljuk, hogy pontosan hogyan is rekonstruálhatunk egy függvényt annak mintáiból, feltéve, hogy teljesült a mintavételezési tételben megfogalmazott feltétel.

Első lépésként azonban be kell látnunk egy újabb összefüggést egy függvény Fourier-transzformáltja és Fourier-sorfejtése között.

7.1.3. Tétel. (Poisson-összegzés) Legyen egy olyan függvény, melynek létezik Fourier-transzformáltja, s tegyük fel, hogy a Fourier-transzformáltból inverz Fourier-transzformációval előállítható. Ekkor

és

teljesül, ahol .

Bizonyítás. Definiáljuk a függvényt módon. Könnyen látható, hogy ezen G függvény periodikus periódussal. Határozzuk meg a Fourier-sorfejtésből adódó Fourier-együtthatóit:

Az utolsó előtti lépésben kihasználtuk a Fourier-transzformáció dualitás tulajdonságát, és azt, hogy az exponenciális kifejezés úgy értelmezhető, mintha Fourier-transzformációval az eredeti függvény értékét szeretnénk meghatározni az helyen.

Felhasználva a Fourier-sorfejtés együtthatóit, a G függvényt előállíthatjuk az alábbi alakban:

Ezzel az állítás második részét beláttuk, a maradék három eset analóg módon bizonyítható.

7.1.3. Megjegyzés. A Poisson-összegzésről szóló állítás szerint ha adott egy függvény, melynek értékeit periodikusan összegezzük, akkor az így kapott összeget megkaphatjuk a Fourier-transzformált súlyozott periodikus összegzésével is. Másként fogalmazva, ha periodikusan összegzünk egy függvényt, az így kapott periodikus függvény Fourier-együtthatói rendre az függvény Fourier-transzformáltjának periodikusan elhelyezkedő értékeiként adódnak.

7.1.4. Tétel. (Shannon–Whittaker-formula) Az f függvényt a mintavételezett függvényből az alábbi formula alapján állíthatjuk elő:

Bizonyítás. Ha a mintavételezési tételben megfogalmazott feltétel teljesül, akkor az eredeti függvény spektrumából egy megfelelő maszkolást követően inverz Fourier-transzformációval kapjuk vissza az eredeti függvényt. Jelölje a mintavételezett függvény Fourier-transzformáltját. A Dirac-fésűvel történő konvolúció tulajdonságaiból látható, hogy

Ahogy azt a Shannon–Nyquist tétel bizonyításában levezettük, az eredeti f függvényt

módon kaphatjuk vissza. Alkalmazzuk a Poisson-összegzés formuláját az állításban szereplő periodikus függvényre:

Hajtsuk végre az inverz Fourier-transzformációt. Tudjuk, hogy a függvény a függvény Fourier-transzformáltja, így az inverz Fourier-transzformációt követően a függvény függvénnyé transzformálódik. Az szorzó faktor az idő paraméter -vel történő eltolásának felel meg, így a szögletes szárójelben szereplő kifejezés inverz Fourier-transzformáltja paraméter jelenik meg. A függvény körfrekvencia paramétere azonban skálázva van. A Fourier-transzformáció skálázásra vonatkozó tulajdonsága alapján tudjuk, hogy a függvény inverz Fourier-transzformáltja lesz. Kihasználva, hogy ,

ahol a függvényt normalizált függvénynek nevezzük, és

módon értelmezzük.

Példa

A Shannon–Whittaker interpolációs formula használatának szemléltetésére folytassuk az előző szakaszban bemutatott példát a függvény mintáiból történő visszaállításával.

7.4. ábra. A Shannon–Whittaker-formula használatának szemléltetése

    7.4-a. A Shannon–Whittaker-formulában megjelenő függvények (kék) és az eredeti függvény (piros).

    7.4-b. A Shannon-Whittaker-formulában összege

Mivel a mintavételezési idő volt, a A Shannon–Whittaker formula szerint a

módon vissza kell kapnunk az eredeti, mintavételezett függvényt. Vegyük észre, hogy a formulában a függvénynek csak diszkrét mintáit használjuk.

Hogy könnyebb legyen a formula működésének elképzelése, a 7.4-a. ábrán az eredeti függvényt pirossal, míg a (7.38) összegzésben szereplő súlyozott függvényeket kékkel ábrázoltuk. Az egyes függvények látszólag változatosan hullámzanak, azonban ha pontonként kiszámítjuk ezen függvények összegét (7.4-b. ábra), akkor látható, hogy pontosan a függvényt kapjuk, melyből mintavételeztünk.

A teljesség és a félreértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy annak, hogy az interpolációs formulában függvények szerepelnek, semmi köze sincs ahhoz, hogy mi most éppen a függvényből mintavételeztünk. Azért a függvényt választottuk, mert a frekvenciatérben megjelenő háromszög függvénnyel könnyű volt szemléltetni a Shannon-féle mintavételezési tétel állítását.

Alkalmazások

A Shannon-féle mintavételezési tételt számtalan helyen alkalmazzák a gyakorlatban:

  • Közismert, hogy az emberi fül hallóképessége a 20-20000 Hz-es tartományra terjed ki (a zenei A hang frekvenciája 440 Hz). A 20000 Hz fölötti frekvenciájú akusztikus hangokat nem vagyunk képesek érzékelni. A 20000 Hz természetesen csak egy közelítő érték, emberről-emberre, illetve a életkorral is változik. Ahhoz, hogy 20000 Hz alatti frekvenciákat hibátlanul vissza tudjunk állítani, a mintavételezési tétel szerint 40000 Hz frekvenciától nagyobb mintavételezési frekvenciával kell dolgoznunk. A gyakorlatban ezt túlbecsülték, hogy többé-kevésbé minden, emberek által érzékelt hangot rekonstruálni tudjanak, így az audiótechnikában elfogadott szabványos mintavételezési ráta 44.1 kHz CD minőséghez, és 48 kHz professzionális audió felvételekhez. Előbbi azt jelenti, hogy 22.05 kHz-es frekvenciáig lehet minden komponenst hibátlanul rekonstruálni, utóbbi esetén pedig 24 kHz-ig.

  • Telefonokon azért nem lehet megfelelő minőségben például zenét továbbítani, mert az emberi beszéd fő frekvenciakomponensei az 3-4000 Hz tartományba esnek. Ennek megfelelően a telefonok mintavételezése csak 8kHz mintavételezési frekvenciával történik a G.711 szabvány szerint.

  • Digitális fényképezőgépek, videókamerák esetén térbeli, valamint térben és időben változó jelek jelennek meg, s ezek jellege befolyásolja azt, hogy milyen képeket, struktúrákat tudunk a számunkra szükséges részletességgel rögzíteni. Mivel a fényképezés vagy videofelvétel tárgyát képező szcénáról nincs általános információnk, így a mintavételezés pontosságát a hardver lehetőségei korlátozzák elsősorban. Ezen területeken is találkozhatunk azonban aliasing jelenségekkel, ilyen például a szekérkerék-effektus, amikor egy forgó kerék vagy propeller egy videófelvételen úgy tűnik, hogy lassabban és esetenként visszafelé forog. Hasonlóan, aliasing jelenség van a háttérben, mikor egy sűrű, apró mintázatú tárgyról képfelvételt készítünk, s a mintavételezés pontosságának köszönhetően az apró minták nem értelmezhetők, viszont nagyobb struktúrákat, ún. de Moire mintázatot alkotnak. Az ??. ábrán[17] két különböző felbontásban készült kép látható egy téglafalról. A bal oldali kép megfelelően nagy felbontású ahhoz, hogy a téglafal mintázatát visszaadja, a jobb oldali kép azonban kisebb felbontású, azaz nem megfelelő mintavételezési frekvenciával készült ahhoz, hogy a téglamintázatot láthassuk rajta. Az apró téglák mintázata helyett azonban megjelenik egy nagyobb, hullámzó de Moire mintázat.

7.5. ábra. Egy téglafal kis és nagy felbontású képe.



[16] A tétel nevét megalkotóiról, Harry Nyquist (1889 – 1976) svéd villamosmérnökről és Claude Shannon (1916 – 2001) matematikusról kapta. Bár a tétel eredménye Nyquist önálló munkájában jelent meg előbb 1928-ban, azt még nem a mintavételezéshez kapcsolódóan fogalmazta meg. Shannon 1949-ben publikálta a tételt, s máig homály fedi, hogy hogyan kapcsolódott össze végül Shannon és Nyquist neve a tétel megnevezésében.

[17] A képek a Wikipedia Aliasing oldaláról származnak.