Véges számú minta vételezésével kapcsolatos jelenségek

Az előző szakaszban választ kaptunk arra, hogy milyen mintavételezési idővel kell mintát venni egy feltehetőleg frekvenciakorlátos jelből, hogy azt a mintákból hibátlanul rekonstruálni tudjuk. Megismerkedtünk továbbá a rekonstrukció módját megadó a Shannon–Whittaker interpolációs formulával.

Az előző szakasz állításaiban azonban azt feltételeztük, hogy ideális eset valósul meg, végtelen sok mintát veszünk, s ezekből próbáljuk rekonstruálni a jelet. A valóságban ez természetesen nem kivitelezhető, és a jelek sem végtelen hosszúságúak. Jelen szakaszban azt vizsgáljuk meg, hogy milyen hatással van egy mintavételezett jel spektrumára, ha egy végtelen hosszúságú mintasorozat helyett csak N darab mintát veszünk.

Periodikus jelek spektruma a periódustól különböző intervallumon

Vizsgáljunk egy ideális jelet. Akár Fourier-sorfejtést alkalmazunk a intervallumon, akár Fourier-transzformációt, a Fourier-spektrumban mindkét esetben két-két nem-nulla komponens jelenik meg (7.6. ábra).

7.6. ábra. A jel és Fourier-transzformáltja

Vizsgáljuk meg, mi történik, ha a Fourier-sorfejtést a intervallum helyett például a intervallumon végezzük, azaz határozzuk meg a Fourier-együtthatókat. Az egyszerűség kedvéért jelöljük az intervallum felső határát T-vel, . A Fourier-sorfejtésben szereplő integrált elvégezve az alábbi kifejezésre jutunk

A vizsgált időtartományt, s a Fourier-együtthatókat a 7.7. ábrán jelenítettük meg.

7.7. ábra. A nem megfelelő periódushossz, s az az alapján végrehajtott Fourier-sorfejtés együtthatói

Az ábrán kék színnel jelöltük az ideális Fourier-együtthatókat. Kiválóan látható, hogy megjelennek a nagy abszolútértékű Fourier-együtthatók az 1, illetve körfrekvenciák közelében, azonban számos további komponens is megjelent. Ezen komponensekre oldalharmonikusokként hivatkozunk, s jelenlétük a nem megfelelően megválasztott periódushossznak köszönhető. Bár az ábra csak sugallja, az Fourier-együttható analitikus kifejezéséből látható, hogy végtelen sok nem-nulla Fourier-együttható jelenik meg.

7.8. ábra. A nem megfelelő periódushossz választásból származó periodikus függvény

Emlékezzünk rá, hogy Fourier-sorfejtés szempontjából az az intervallum számít egy periódushossznak, amelyen az integrált számítjuk. Esetünkben a választás miatt a Fourier-sorfejtés a 7.8. ábrán látható függvény együtthatóit számítja ki. Az ábrán jól látható, hogy a nem megfelelő periódushossz választás a függvény görbéjében szakadásokat eredményezett. Valójában ezek a folytonossági hibák okozzák a végtelen sok nem-nulla Fourier-együttható megjelenését. Valahányszor egy függvénynek ugrásai vannak, azaz olyan pontok, melyekben nem folytonos, a nem-nulla Fourier-együtthatók száma végtelenné válik. Láthattunk erre példákat korábban, például a négyszög-hullámnál, vagy éppen a négyszögfüggvénynél.

Más megközelítésben a következő módon értelmezhetjük a jelenséget: A kiválsztott periódus hossza (T) határozza meg a sorfejtés során az alapharmonikus körfrekvenciáját: . A jelekről szóló fejezetben a jelek különböző típusai között megkülönböztettünk periodikus és kváziperiodikus jeleket. Előbbi esetben a jelben előforduló minden (kör)frekvencia az alapharmonikus (kör)frekvenciájának egész számú többszöröse. Ezzel szemben kváziperiodikus jelek esetén a jelben előforduló (kör)frekvenciakomponensek az alapharmonikus (kör)frekvenciájának nem egész számú többszörösei. (Ilyen jelenséggel találkozunk például ha két olyan hullámot adunk össze, melyek frekvenciájának hányadosa nem racionális szám.) Példánkban a szinusz hullám körfrekvenciája 1, míg az alapharmonikus frekvenciája . Nyilvánvaló módon az 1 a -nek nem egész számú többszöröse, így a jel kváziperiodikus, biztosak lehetünk benne, hogy a kiválasztott T intervallumig a jelben előforduló hullámok nem egész számú periódust teljesítenek, így a T intervallum határán szakadás lesz, ami oldalharmonikusokhoz vezet.

Valódi alkalmazásoknál, valódi jelek vizsgálata esetén szinte mindig a felvázolt szituáció áll fenn, hiszen

  1. a periódushosszt vagy nem ismerjük, vagy a mérési körülmények nem teszik lehetővé, hogy pontosan a periódushossznak megfelelő időtartamot vizsgáljunk;

  2. a valódi jelek a legtöbb esetben nem periodikusak, így a legnagyobb igyekezettel sem tudunk éppen egy periódushossznak megfelelő időtartamot vizsgálni. Ennek illusztrálására tekintsük az 7.10. ábrán bemutatott hanghullámot, melyben igen nehezen tudnánk két ismétlődő részletet taláni.

7.9. ábra. Egy valódi hangfájl hullámformája

A következő két szakaszban azt vizsgáljuk, hogy hogyan védekezhetünk az oldalharmonikusok megjelenése ellen, ha véges számú mintát vételezünk, azaz egy nem-periodikus jelnek csak egy T hosszúságú időintervallumba eső részét vizsgáljuk.

A mintaszám növelése

Tudjuk, hogy a valóságban előforduló jelek négyzetesen integrálhatók, így előállíthatók trigonometrikus függvények súlyozott összegeként. Ennek megfelelően egy valódi jel mintavételezésekor a megjelenő oldalharmonikusok a jelet alkotó szinuszoidokból származó oldalharmonikusok összegeiként értelmezhetők. Elegendő tehát azt vizsgálnunk, hogy hogyan tudjuk redukálni az oldalharmonikusok jelenlétét egy szinuszos jel, például az előző szakaszban vizsgált függvény esetén.

Tegyük fel, hogy N darab mintát veszünk, s a mintavételezések között eltelt idő . A mintákat tekinthetjük úgy, hogy egy időintervallumot írnak le a vizsgált jelből. A szakirodalomban ezt úgy is nevezik, hogy a regisztrátum hosszúságú.

Legyen egy szinuszos jel körfrekvenciája n, míg a vizsgált periódusidő . Ebben az esetben a Fourier-együtthatók az alábbi módon alakulnak:

Gondolatkísérletben vizsgáljuk meg mi történik, ha növekszik. Azon tagok, amelyek nevezőjében szerepel egyre nagyobb értéket vesznek fel, így ezen tagok esetén nullához tartanak. Azon tagok, melyek nevezőjében szerepel, hasonlóan viselkednek, kivételt képeznek ez alól azon k értékek, melyekre megközelíti n-t. Ekkor ugyanis a nevező nagyon kicsivé válik, s a tag abszolútértéke megnő. Vegyük észre ugyanakkor, hogy az egész kifejezés meg van szorozva -el, ami nullához tart, így ez a szorzó tag visszatarthatja a nevezőben negatív előjelet tartalmazó tagokat attól, hogy végtelen nagy értéket vegyenek fel. Ennek megfelelően azt várhatjuk, hogy növelésével a esetén kapjuk a legnagyobb Fourier-együtthatókat. Pontos számításokkal igazolható, hogy ez valóban teljesül, s ez megfelel az elvárásainknak, hiszen ezek lesznek a valóban jelen lévő frekvenciakomponenseknek megfelelő együtthatók.

Hogyan érhetjük el, hogy növekedjen? Vagy a mintavételezési időt, vagy az N mintaszámot kell növelnünk. Ha azonban -t növeljük, akkor a mintavételezési körfrekvencia csökken. A mintavételezési frekvenciának viszont alsó határt szab a Shannon–Nyquist-féle mintavételezési tétel, így növelése nem megfelelő stratégia. Arra jutottunk tehát, hogy az N mintaszám növelésével csökkenethetjük csak igazán a megjelenő oldalharmonikusok jelenlétét.

Nézzük meg, milyen hatással van az előző szakaszban vizsgált spektrumára, ha vizsgálatunk tárgyaként a időintervallumot jelöljük ki. Vegyük észre, hogy ezen intervallum választás látszólag ugyanolyan rossz, mint a korábbi , hiszen mindkettő idővel nyúlik túl a tényleges periódushosszon. Az intervallumon végrehajtott Fourier-sorfejtésből származó spektrumot a 7.11. ábrán hasonlítjuk össze intervallumon kapott spektrummal, illetve a függvény ideális spektrumával. Jól láható, hogy a kiugróan nagy abszolútértékű Fourier-együtthatók egyre inkább megközelítik a függvény valódi Fourier-spektrumában megjelenő nem-nulla együtthatók pozícióját, és az oldalharmonikusok abszolútértéke is nagyobb ütemben csökken. Arra jutunk tehát, hogy nagyobb mintaszám esetén pontosabb következtetéseket vonhatunk le a mintavételezett jel spektrumának vizsgálatából.

7.10. ábra. A függvény különböző intervallumokon kapott spektrumai

    7.10-a.

    7.10-b.

Vegyük észre azonban, hogy a Fourier-együtthatók abszolútértéke nem egyezik. Mi lehet ennek az oka? Természetesen az, hogy az első fejezetekben levezetett matematikai apparátussal összhangban a Fourier-sorfejtésben szereplő ortonormált bázist szimmetrikusan súlyozzuk. Ennek megfelelően a megjelenített Fourier-együtthatókból nem ugyanazon súlyokkal kapjuk vissza az eredeti jelet, hiszen egyik esetben -al, másik esetben normáló faktorokkal kell még szoroznunk a komponenseket. Ha a Fourier-együtthatókat megszorozzuk a nekik megfelelő normáló komponenssel (7.11. ábra), akkor jól látható, hogy növelésével a Fourier-együtthatók tényleg a valódi Fourier-együtthatókahoz tartanak, mind körfrekvenciában, mint abszolútértékben.

7.11. ábra. A függvény különböző intervallumokon kapott spektrumai, asszimmetrikusan normálva

    7.11-a.

    7.11-b.

Mivel a növelése az alapharmonikus körfrekvenciájának csökkenését vonja maga után, egyes irodalmi forrásokban úgy hivatkoznak ezen megközelítésre, mint az alapharmonikus frekvenciájának csökkentésére.

Ablakozó függvények használata

A gyakorlatban az mintaszámot nem növelhetjük a végtelenségig, hogy az oldalharmonikusok megjelenését redukáljuk. Alternatív megoldást jelenthet a problémára, ha a regisztrátumot valamilyen módon periodikussá tudjuk tenni. Képzeljük el, hogy a vizsgált időtartamból származó jelet megszorozzuk pontonként egy olyan függvénnyel, amely az időtartam nagy részén 1 értéket vesz fel, azonban a regisztrátum elején és végén meredeken, de folytonosan nullára csökken az értéke. Az ilyen tulajdonságokkal rendelkező függvényekre ablakozó függvényként hivatkozunk. Az eredményként előálló regisztrátum azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy az időtartam nagy részén megegyezik az eredeti jellel, azonban a vizsgált időtartam elején és végén egyaránt zérus értéket vesz fel, így a szorzás eredményeként kapott jel periodikussá válik.

Mivel az ablakozó függvények használata megszűnteti a regisztrátum végén található ugrást, azt várhatjuk, hogy a mellékharmonikusokhoz tartozó együtthatók abszolútértéke csökken, ugyanakkor a valódi frekvenciakomponensek nem változnak jelentősen.

Különböző alkalmazások kapcsán nagyon sok ablakozó függvényt leírtak az irodalomban, példaként az alábbiakban sorolunk fel néhányat:

  1. Koszinusz-ablak:

  2. Hann-ablak:

  3. Hamming-ablak:

  4. Blackman-ablak:

A bemutatott ablakozó függvények képét a 7.11-c. ábrán jelenítettük meg.

    7.11-c. Néhány gyakran használt ablakozó függvény

    7.11-d. A Blackman-ablak használata

Nézzük meg, milyen hatással van az előző szakaszokban vizsgált példára egy ablakozó függvény használata. Válasszuk a Blackman-ablakot, és továbbra is választással éljünk. A 7.11-d. ábrán az függvény vizsgált részre, az ablakozó függvény és a kettő pontonkénti szorzata, az

függvény látható. Jóllehet a alakja némileg különbözik -től, a vizsgált időintervallum elején és végén egyaránt zérus értéket vesz fel, azaz periódussal periodikus. Lássuk, hogyan alakulnak a Fourier-együtthatók. A spektrumát (zöld) a függvény ideális spektrumával (kék) és a függvény intervallumon számított Fourier-együtthatóival (piros) a 7.12. ábrán jelenítettük meg. Az ábra értelmezése előtt megjegyezzük, hogy a függvény értékei jóval kisebbek, mint a függvény értékei, ezért a Fourier-együtthatók is kisebb abszúltértékűek. Ebből kifolyólag a láthatóság kedvéért a függvény Fourier-együtthatóit az ideális együtthatóknak megfelelő nagyságúra skáláztuk. Az ábrát megfigyelve azt vehetjük észre, hogy az ablakozó függvény hatására az ideális körfrekvencia közvetlen környezetében az együtthatók nagyságai jobban megközelítik egymást, ugyanakkor, a negyedik, ötödik, stb. együtthatók abszolútértéke közel nullára esik: ablakozó függvény használatával az oldalharmonikusok nagysága hamarabb lecseng, mint ablakozó függvény használata nélkül, ugyanakkor a nagy együtthatók az ideális frekvencia környékén lokalizálódnak.

Ablakozó függvények használata esetén az oldalharmonikusok kevésbé szennyezik a spektrumot, így az ideálishoz közelebb eső képet kaphatunk a valódi frekvenciakomponensekről. Az ablakozó függvénnyel történő szorzásnak köszönhetően a jel nagysága, így a Fourier-együtthatók amplitúdója is megváltozik, ezt az ablakozófüggvénytől függő utólagos skálázással korrigálhatjuk.

7.12. ábra. Az ablakozó függvény hatása a spektrumra.