2.2. Az elsőrendű nyelv klasszikus szemantikája

Egy

ábécé feletti elsőrendű logikai nyelv

interpretációját ( modelljét vagy algebrai struktúráját ) olyan

Equation 2.. 


négyes határozza meg, melyben

Legyen az elsőrendű nyelv univerzuma

. Bővítsük ki a nyelvet az univerzum objektumait jelölő új konstansszimbólumokkal:

Equation 2.. 


ahol

-t a

halmazból úgy kapjuk, hogy minden

objektumhoz rendelünk egy új – általunk

-val jelölt – konstansszimbólumot.

Egy olyan

Equation 2.. 


függvényt, amely az elsőrendű nyelv véges sok változójához

-beli új szimbólumot rendel,

-értékelő helyettesítésnek nevezünk.

a

logikai kifejezés értékelése , ha

. Ha

a

logikai kifejezés értékelése, akkor a

kifejezést úgy nyerjük, hogy

-ban a paraméterek minden szabad előfordulását a

által hozzájuk rendelt új konstansszimbólumokkal helyettesítjük. A kibővített nyelv paramétermentes ( zárt ) logikai kifejezéseit értékelt kifejezéseknek nevezzük.

Legyen

a nyelv egy interpretációja. Egy értékelt term értéke

-ben az alábbi – rekurzív definícióval megadott –

-beli objektum. (Egy

term

-beli értékét

-mel fogjuk jelölni.)

Egy

értékelt formula értéke

-ben (jelölése:

) a következő, rekurzív definícióval megadott érték:

A

értékelt formula igaz az

interpretációban, ha

, egyébként a

formula hamis

-ben.

Egy elsőrendű nyelv egy

formulája kielégíthető , ha van a nyelvnek olyan interpretációja és

-nak olyan

értékelése, amely mellett

igaz, egyébként

kielégíthetetlen (vagy logikai ellentmondás ). Egy elsőrendű nyelv egy

formulája logikai törvény , ha a nyelv bármely interpretációjában és

bármely

értékelése mellett

igaz. Jelölése:

.

Az

és

elsőrendű formulák logikailag ekvivalensek , ha a nyelv minden

interpretációjában és a formulák minden közös

értékelése mellett

és

azonos igazságértékű. Jelölése:

.

Legyen

elsőrendű formulák (premisszák) egy halmaza és

egy elsőrendű formula (konklúzió). Azt mondjuk, hogy

következménye a

-beli formuláknak, ha a nyelv minden olyan interpretációjában és a

-beli és a

formulák tetszőleges olyan közös

értékelése esetén, mely mellett a

-beli formulák mind igazak, ott

is igaz. Jelölése:

Elsőrendű formulák egy

halmaza kielégíthető , ha van olyan interpretáció és a

-beli formuláknak olyan közös értékelése, mely mellett minden

-beli formula épp igaz, egyébként a

formulahalmaz kielégíthetetlen .