2.3. Logikai kalkulusok

A logika fő feladata a következtetések helyességének vizsgálata és helyes következtetési szabályok megalkotása. Az előző szakaszban fel is idéztük a következményrelációnak a klasszikus elsőrendű logika szemantikai alapfogalmaira támaszkodó definícióját. Ugyanakkor ez a definíció nem ad gyakorlati útmutatást arra vonatkozóan, hogyan ellenőrizhetjük egy következtetés helyességét. Jelen tananyagban több olyan mechanikus, csak a logikai nyelv szintaxisát használó szabályrendszerrel ismerkedünk meg, melyek gépiesen alkalmazhatók a következményreláció vizsgálatára.

Leibniz már a XVIII. század elején remélte, hogy a tudósok hosszas viták helyett hamarosan ki fogják tudni számolni, kinek van igaza. Az elképzelés megvalósítása felé az első lépések mégis csak a XIX. század végén indultak. Frege ekkor dolgozott ki egy tisztán szintaktikai felépítésű logikai rendszert, egy logikai kalkulust .

Egy logikai kalkulus a logikai nyelv megadása mellett a ,,szintaktikai következményreláció'', a levezethetőség definícióját tartalmazza. Ehhez első lépésben megadjuk a kalkulus alapformuláit és levezetési szabályait . A második lépés a levezethetőség fogalmának kialakítása. Egy

formulahalmazból levezethető a

formula (jelölése:

)

A levezethetőségi relációt tehát az alapformulák és a levezetési szabályok segítségével definiáljuk. Tehát ha változtatunk az alapformulákon vagy a levezetési szabályokon, más lesz a levezethetőségi reláció is. Sokféle logikai kalkulust felépíthetünk. Két kalkulust akkor tekintünk ekvivalensnek , ha azonos logikai nyelvhez kötődnek, és pontosan akkor lesz

az egyikben, amikor a másikban is.

Egy elsőrendű logikai nyelv klasszikus szemantikájában definiált következményreláció és a nyelvre épülő valamely logikai kalkulus levezethetőségi relációja között szoros kapcsolatot várunk el. Azt mondjuk, hogy a logikai kalkulus helyes , ha

esetén mindig

. A logikai kalkulus pedig teljes , ha

esetén mindig

. Egy kalkulus adekvát , ha helyes is, teljes is.

Egy logikai rendszer megalkotásakor gyakran először egy szemantikai rendszert definiálunk, majd megkísérlünk ehhez legalább helyes, de ha lehet, adekvát logikai kalkulust szerkeszteni.