2. fejezet - Az Intervallum-értékű logika

Az intervallum-értékű számítási paradigma alapja az intervallum-értékű logika. Ebben a fejezetben az intervallum-értékű logikát, mint többértékű logikát mutatjuk be, valamint áttekintünk néhány egyéb többértékű, illetve fuzzy logikát. Először is néhány érvet adunk ezek használata mellett.

2.1. A többértékű logikák szükségessége

Ebben az alfejezetben példákkal támasztjuk alá, hogy a hagyományos kétértékű logikák többértékű kiterjesztéseire szükség van.

A valódi életben az igaz és a hamis közötti határvonal nem éles. Sok fogalomnak, amit használunk van egy érzékeny határsávja. A kétértékű logika jól használható és nagyon fontos szerepet játszik a tudományokban, ahol valóban a pontosság az egyik legfontosabb ismérv, itt általában tényleg vagy igaz vagy hamis egy állítás. Ezzel szemben a köznapi életben például egy állítás (igazság)értéke különbözhet az igaztól és a hamistól is. Nézzünk néhány példát:

  • Nagyon esik az eső. (Az eső azért eshet még jobban, vagy kevésbé is.)

  • Pisti szereti a mogyorót. (De a csokoládét jobban szereti.)

  • Budapest messze van Bécstől. (Gyalog vagy biciklivel bizonyosan, de repülővel nincs.)

Sokszor mondunk olyan mondatokat, amik esetén nem feltétlenül szorítkozunk a hagyományos két értékre. Relációkat, összehasonlításokat végzünk sokszor akár valamilyen kimondatlan dologgal: messze, sok, nagy... Ilyen esetekben több értéket is használ(hat)unk, pl.

  • tulajdonságok mérésénél, pl. magas, nehéz, könnyű, kitartó.

  • mennyiségek kifejezésénél, pl. túl sok, néhány.

  • közelítő mennyiségeknél, pl. kb. 50 km/h.

  • tárgyak definiálásakor, pl. szék, asztal, csomag.

  • igék jelentésében, pl. siet.

A fuzzy elmélet halmaz-algebrai leírásában a karakterisztikus függvény értéke nem korlátozódik a hagyományos 0 és 1 értékekre, hanem közéjük eső értékeket is felvehet. Ezek az értékek különböző halmazba tartozási értékeket jelentenek, ami lehet viszonylag magas, kicsi, még kisebb, vagy akár a semennyire is. Ahhoz, hogy több értékkel tudjunk bánni ki kell terjesztenünk a logikai összekötőjelek (szemantikájának) definícióját is. Erre több lehetőség is van, így nyerjük a különböző fuzzy és többértékű rendszereket. Ilyen többértékű rendszereket használnak a közgazdaságban (döntéstámogató rendszerek), fizikában, illetve mérnöki tudományokban is. Ilyenkor nem feltétlenül igazság-értékről beszélnek, hanem pl. elégedettségi mértékről, de csak az interpretáció más, a rendszer ugyanúgy működik, mintha igazságértékről lenne szó.

A hagyományos logikában több paradoxont is megfogalmazhatunk:

  • „Ez a mondat hamis.” Ez a híres hazug paradoxon egy formája, amit más az ókori görögök is ismertek. A témáról több tudományos könyv is született, a paradoxon a Gödel tétellel is kapcsolatban áll. A klasszikus logikában ennek a mondatnak nincs igazságértéke. Akár igaz, akár hamis lenne ellentmondásba kerülnénk az önhivatkozás miatt.

  • A kopaszság paradoxona a következő: a természetes indukció segítségével bebizonyítjuk, hogy mindenki kopasz. Kezdjük azokkal akiknek egyáltalán nincs egy szál hajuk sem. Világos, hogy ők kopaszok. Ez lesz az indukció alapja. Na mármost, ha veszünk egy kopasz embert és egy plusz hajszálat teszünk a fejére, attól ő még kopasz marad. Ez az indukciós lépés. Tehát akinek véges sok hajszála van az kopasz. Mivel minden embernek véges sok hajszála van, mindenki kopasz.

  • Zenon mozgás-paradoxona a következő: vegyünk egy nyílvesszőt, ami mozog. Meg tudjuk mondani, hogy hol van? Ha igen, akkor ez lehetetlen, hiszen mozog (már nincs is ott). Ha nem tudjuk megmondani, akkor hol is van valójában? Ennek a paradoxonnak egy általánosítása a változás paradoxona . Meddig mondhatjuk, hogy valami rendelkezik egy tulajdonsággal, és mikortól nem, amikor éppen változóban van?

  • A következő paradoxon, mint találós kérdés ismert: „Kint sincs, bent sincs, mégis a házban van. Mi az?” A megoldás az ablak. A problémát a határ a kint és bent között okozza: hol is van és milyen széles?

  • Tekintsük a következő szemantikai paradoxont: „A jelenlegi francia király nagyon bátor.” Mi ennek az igazságértéke? És a tagadásának (vagyis „A jelenlegi francia király nem nagyon bátor.”)? Ha az egyik hamis, akkor másik igaz. Vagy mégsem? Hogyan oldható fel ez a szituáció, hiszen jelenleg nincs királya Franciaországnak...

Ezek alapján az érvek alapján mondhatjuk, hogy a klasszikus logika nem képes megfelelően kezelni a világ dolgait. A klasszikus logikát szokás általánosítani többféleképpen, az egyik szokásos mód a kettőnél több (igazság)érték használata, a másik új (pl. modális, temporális) operátorok bevezetése. Mi most az előbbiekkel kapcsolatosan nyújtunk egy rövid áttekintést. A többértékű logikák elvetik a kizárt harmadik elvét (ami a klasszikus logika egyik alapja, névleg: minden egyes állítás vagy igaz, vagy hamis, nincs harmadik lehetőség). Ahogy látni fogjuk, többféleképpen lehet több értékkel készíteni logikai rendszert, van ahol az értékek csak parciálisan rendezettek, és van ahol pl. végtelen rendezett halmazból vehetünk értékeket.

Itt jegyezzük meg, hogy a többértékű logikák és a valószínűségi rendszerek között filozófiai különbség van: egy valószínűségi rendszerben az állítások igazak vagy hamisak, csak a (jelenleg) rendelkezésre álló információink szerint az értéket nem tudjuk pontosan. Ilyen pl. az időjárás-előrejelzés: annak az értéke , hogy „Párizsban holnapután esni fog az eső” 0.6. Nem állíthatjuk azt, hogy igaz, vagy hogy hamis az állítás, hiszen nem tudhatjuk (még), viszont két nap múlva már egyértelműen tudhatjuk. Az ilyen jellegű állításokkal a valószínűségi logikák és a bizonytalansági rendszerek foglalkoznak. Egyébként ezek a rendszerek működésüket tekintve közeli rokonságban vannak a többértékű, illetve a fuzzy logikákkal.

Több érv szól a végtelen értékű logikák mellett. Általában a fuzzy logikákban a intervallumból bármely valós szám egy lehetséges érték. A logikai műveletek pedig úgy vannak kiterjesztve (erre a bővebb értelmezési tartományra), hogy a klasszikus 0 és 1 értékek esetén a hagyományos kétértékű logika által megadott értékeket kapjuk vissza. Logikai szempontból fontos lehet még az a kérdés, hogy mikor tekintünk egy állítást igaznak , mert hagyományosan sok alkalmazás szempontjából mégiscsak így tudjuk felhasználni az eredményeket (bár valószínűleg ez csak azért van így, mert a kétértékű logika története jóval hosszabb időre tekint vissza, mint a modern többértékű logikáké, és ennek kapcsán az alkalmazások és a felhasználók egy része még nincs felkészítve, illetve felkészülve arra, hogy fuzzy értékű eredményekkel tudjon hatékonyan dolgozni). Van olyan rendszer ahol csak az 1-et tartják igazán igaznak, és van ahol egy előre adott határértéknél minden nemkisebb értéket igaznak tartanak. Ahogy a lehetséges logikai értékek száma nő, a lehetséges logikai összekötőjelek száma is nő, a végtelen értékű logikák esetén végtelen sokféle összekötőjelet definiálhatnánk. A következő fejezetben a szokásos definíciókat mutatjuk be.