2.3. Az intervallum-értékű logika definíciója

Az intervallum-értékű logika eredetileg a fejezetben eddig bemutatott többértékű logikák vizualizációjára, műveleteik szemantikájának megértését segítendő hozta létre a szerző 1997-ben. Ebben az alfejezetben bemutatjuk mind a logikai rendszert, mind azt, hogy hogyan lehet a segítségével különböző többértékű és fuzzy rendszereket szemléltetni.

A modell pontos megadásához megadjuk az intervallum-értékek és az azokon értelmezett műveletek pontos definícióját.

2.3.1. Intervallum-értékek

Az intervallum-értékeket egy induktív definícióval adjuk meg. A zárt intervallum lesz tulajdonképpen az univerzumunk, ennek részhalmazait fogjuk használni.

Tehát a definíció:

Atomi intervallum nak hívunk minden alakú intervallumot, ahol . Speciálisan választással azt mondhatjuk, hogy a pontjai is atomi intervallumok.

Az atomi intervallumok intervallum-értékek .

Iterációs lépés: intervallum-értékek uniója és (halmazelméleti) különbsége is intervallum-érték.

Minden intervallum-értékre igaz, hogy az vagy atomi intervallum, vagy előáll azokból az iterációs lépés véges sokszori alkalmazásával.

Van két speciális intervallum-értékünk: az üres (a jellel fogjuk jelölni) és a teljes intervallum ( ). A 2.2. ábrán látható a grafikus reprezentációjuk.

2.2. ábra - A A és intervallum-értékek grafikus ábrázolása. és A és intervallum-értékek grafikus ábrázolása. intervallum-értékek grafikus ábrázolása.

A és intervallum-értékek grafikus ábrázolása.

A egy atomi intervallum, míg a bármely atomi intervallum és vagy bármely atomi intervallum és önmaga különbsége.

Minden intervallum véges sok komponens ből áll. A komponensek azok a maximális méretű, vagy alakú intervallumok, amiket az adott intervallum-érték tartalmaz. Így az intervallum-érték éppen a komponenseinek uniója, és ennél kevesebb intervallum uniójaként nem írható fel. Egy komponens hossza alatt a értéket értjük, ahol az és az adott komponens intervallum végpontjai.

Egy intervallum-érték karakterisztikus függvénye minden pontról megmondja, hogy része-e a pont az adott intervallum-értéknek. Mivel a jelölésrendszer nem lesz zavaró, egyszerűen az intervallum-érték nevével fogunk a karakterisztikus függvényére is hivatkozni, zárójelben megadva utána a paraméterként vizsgálandó pontot. Tehát ezen függvények értelmezései tartománya a , míg értékkészlete a nemüres részhalmaza. (Ha az A intervallum-érték különbözik a és intervallum-értékektől, akkor A felveszi mind a 0, mind az 1 értéket.)

Formálisan:

Most nézzük, hogy milyen műveleteket lehet az intervallum-értékekkel végezni. Kezdjük a logikai operátorokkal.

2.3.2. Logikai operátorok

A klasszikus logika operátorai (lásd 1.3.1. alfejezet) természetes módon kiterjeszthetőek intervallum-értékekre, hiszen az intervallum-értékek karakterisztikus függvényei 0 és 1 értékűek.

Tehát, legyenek a logikai operátorok a következő módon értelmezve: Az eredmény intervallum-érték karakterisztikus függvénye legyen az, amely a intervallum minden pontjára pontonként megegyezik az argumentum(ok) abban a pontban levő karakterisztikus függvényére ható megfelelő klasszikus logikai operátor értékével.

A 2.11. táblázat mutatja az eredményt a logikai alapműveletekre.

2.11. táblázat - Az alapvető logikai operátorok intervallum-értékeken.

Név negáció konjunkció diszjunkció implikáció
Jel A A B A B A B
Érték A A B A B (A B) = A B
Halmazelméletileg komplementer metszet unió

Világos, hogy a negáció eredménye is intervallum-érték lesz, hiszen ez a és az adott intervallum-érték különbsége. A 2.11. táblázat alsó sora alapján könnyen belátható, hogy a diszjunkció operátora sem vezet ki az intervallum-értékek halmazából. A konjunkcióra az állítás a halmazelméleti De Morgan azonosság ( azonos a értékkel) segítségével látható be.

Nézzünk néhány példát grafikusan is. A 2.3. ábra negációra mutat példát, míg a 2.4. ábrán az intervallum-értékek konjunkciójára és diszjunkciójára láthatunk példát.

2.3. ábra - Példa negációra intervallum-értékekkel.

Példa negációra intervallum-értékekkel.

2.4. ábra - Példa konjunkcióra és diszjunkcióra intervallum-értékekkel.

Példa konjunkcióra és diszjunkcióra intervallum-értékekkel.

Hasonlóan felírható és ábrázolható az implikáció (lásd 2.5. ábra), a kizáró vagy (XOR), a NAND stb. művelet is az intervallum-értékekkel, ez utóbbiakat most itt nem részletezzük.

2.5. ábra - Példa implikációra intervallum-értékekkel.

Példa implikációra intervallum-értékekkel.

Ez a logikai rendszer tekinthető az előző rendszerek egy kézenfekvő általánosításának, és ily módon az ebben a részben ismertetendő új számítási paradigma alapjául szolgál, hasonlóan ahhoz, ahogy a bitek (fix hosszúságú bitsorozatok) logikájára épülnek a hagyományos számítógépeink.

Ahogy Belnap logikájában, úgy a bitek logikájában és az intervallum-értékű logikában is csak parciálisan rendezettek az igazságértékek. Az intervallum-értékű logikában pontosan akkor, ha a intervallum-értéke tartalmazza az intervallum-értékét. Ez a halmazelméleti tartalmazás adja a parciális rendezést, aminek alján a üres intervallum-érték, tetején pedig a teljes intervallum-érték áll.

2.3.3. Nem-logikai operátorok

Ahhoz, hogy az ismertetett logikai rendszereket tudjuk modellezni, illetve hogy az intervallum-értékű logikára épülő modell számítási szempontból univerzális legyen, be kell vezetnünk olyan (hagyományosan aritmetikainak nevezett) operátor(oka)t, amelyek segítségével az információt az intervallum-érték egyik részéről a másikra tudjuk mozgatni. (Mint láttuk a logikai operátorok nem ilyenek, ott nagyfokú párhuzamosság van, de az információ nem tud elmozdulni az intervallum-érték adott helyéről.)

A hagyományos számítógépeken meglevő eltolás mintájára itt is bevezetünk eltolási operátorokat, de a helyzet kicsit bonyolultabb. A klasszikus shift operátorok egy bittel (a legkisebb egységgel) tolták el az értékeket, viszont az intervallum-értékek esetén nincs ilyen legkisebb eltolás, az intervallumban folytonosan lehetnek a 0 és 1 értékek. Ezért, itt szükség lesz az eltoláshoz egy második operandusra is, amely megszabja, hogy mennyivel történjen az eltolás.

Ehhez előbb bevezetünk egy függvényt, amely minden intervallum-értékhez egy 0 és 1 közé eső (valós) számot fog rendelni, méghozzá az első nemnulla hosszúságú komponensének hosszát (ha van ilyen). Formálisan:

nyílt intervallum része A-nak, és nincs olyan

Ha nincs ilyen és , vagyis az A csak véges sok pont uniója, akkor .

Az előző függvényt felhasználva vezessünk most be két eltolás operátort, mindkettőt két intervallum-értékű argumentummal. (Azért, hogy a rendszerünk hatékonyabb legyen nem teljesen szimmetrikus lesz a két művelet viszonya.)

Tehát legyenek és az Intervallum-értékek miután az intervallum-értéket balra, illetve jobbra toltuk -nek megfelelő mértékben.

2.1. animáció - Példa a balra tolásra intervallum-értékekkel.

2.2. animáció - Példa a jobbra tolásra intervallum-értékekkel.

A matematikai leírásban a karakterisztikus függvényeket fogjuk használni:

ha , és

egyébként.

, ahol .

A függvény a törtrészét adja meg az argumentumként megadott valós számnak, vagyis , ahol pedig az egészrész-függvény, vagyis azt a legnagyobb egészet jelenti, amely még nem nagyobb a megadott valós értéknél. Végül, hogy teljes legyen a leírás, legyen

.

A 2.1. és 2.2. animációkon mutatunk egy-egy eltolást. Látható az és az operátor hatása is. A színes intervallum-komponensek segítségével történik az operátor megvalósítása.

Amint láthatjuk az operátor alkalmazásakor az intervallum-értéknek az a része, amit kitolunk a -ből a 0 érték alá (vagyis a negatív tartományba) eltűnik. Ezzel szemben az operátor alkalmazásakor az eltolt intervallum-értéknek az a része ami az érték felé csúszik, nem tűnik el, hanem megjelenik az intervallum-érték elején (az alsó részén, -tól kezdődően). Így a két eltoló operátor kombinált alkalmazásával egy intervallum-érték bármely részét ki tudjuk törölni.

Bevezetünk még egy operátort az intervallum-értékeken, az intervallum-értékek szorzását. Az intervallum-értékek szorzása tulajdonképpen azt jelenti, hogy az első operandus komponenseire rákicsinyítjük a második intervallum-értéket. (Lásd a 2.3. animációt.)

2.3. animáció - Példa az intervallum-értékek (fraktáli) szorzására.

A művelet matematikailag a következőképpen definiálható:

Legyen intervallum-érték olyan, hogy darab atomi intervallum komponenst tartalmaz amelyek végpontjai (határpontjai) . Hasonlóan, ha B darab atomi intervallum komponensből áll, akkor legyenek ezek végpontjai a pontokban. Ekkor a Intervallum-érték legyen a következő: -nek legyen atomi intervallum komponense. A komponensekre dupla indexekkel fogunk hivatkozni. Legyen a kezdő, illetve a végpontja az -edik atomi intervallum komponensnek az és az pontok. Egy határpont pontosan akkor fog a intervallum-értékhez tartozni, ha az eredeti határpontok hozzátartoztak az , illetve a intervallum-értékhez is, ha a -ben ez a határpont 0 vagy 1, különben pedig a határpont akkor része a -nek, ha a megfelelő határpont a -nek része volt.

Az intervallum-értékek szorzása a tulajdonságait tekintve, rokon a számok szorzásával, abban az értelemben, hogy az eredmény intervallum-érték definíció szerint annyi intervallum-komponenst tartalmaz, mint az operandusok komponensszámának szorzata, illetve az eredmény intervallumainak összhossza meg fog egyezni a két operandus intervallum-érték intervallum összhosszainak szorzatával. Másrészt, viszont a Descartes-féle szorzásra is hasonlít, ugyanis az eredmény intervallum-érték részintervallumai éppen az operandusok egy-egy részintervallumának valamiféle kölcsönhatásából származnak.

Nézzünk, most egy érdekességet, ha egy intervallum-értéket önmagával szorzunk, akkor a hatványozást is értelmezhetjük. Kiindulva az Intervallum-értékből az , , , ... sorozat éppen a Cantor-halmaz (az egyik legegyszerűbb és legismertebb fraktál) előállítási folyamata. (Lásd a 2.6. ábrát is. Határértékben fogjuk megkapni a Cantor-halmazt, vagyis , ha akkor éppen maga a Cantor-halmaz. Viszont maga a Cantor-halmaz nem lesz intervallum-érték, hiszen végesen nem állítható elő.) Az intervallum-értékek szorzását így fraktáli szorzás nak is nevezhetjük.

2.6. ábra - A Cantor-halmaz előállítása az intervallum-értékek szorzásával.

A Cantor-halmaz előállítása az intervallum-értékek szorzásával.

Ahogy a 2.3. animációban bemutatott példából is egyszerűen látszik, a fraktáli szorzás nem szimmetrikus az argumentumait tekintve. Viszont a mindkét oldali egységeleme az operátornak, míg a bármivel szorozva -t eredményez.