2.4. Többértékű és fuzzy logikák vizualizációja intervallum-értékekkel

A többértékű rendszerek intervallum-értékekkel történő modellezéséhez meg kell teremtenünk a kapcsolatot a valós számok (mint igazságértékek) és az intervallum-értékek között. Erre, amint látni fogjuk, többféle mód is adódik mindkét irányban, és ez fogja az egyik fő különbséget jelenteni néhány fuzzy és többértékű rendszer között.

Elsőként lássuk tehát, hogyan szemléltethetjük a Gödel-féle logikát.

2.4.1. A Gödel-féle logika szemléltetése

Vezessük be a és operátorokat a következőképpen:

A operátor bármely , értékhez a intervallum-értéket rendeli.

A operátor bármely intervallum-értékhez hozzárendeli annak a komponensének a hosszát, amely a pontot tartalmazza, illetve a értéket, ha nincs ilyen komponens. Formálisan tehát az első komponens hosszát, -et, ha az első komponens vagy alakú. Ha nincs első komponens (ez áll fenn a esetén), vagy annak alakja nem az előbbiek közül való, akkor pedig -t.

Tehát e két operátor fog segíteni nekünk a Gödel-féle logika igazságértékei és az intervallum-értékek közti kapcsolat megteremtésében.

A szemléltetés lépései:

  • Az argumentum(ok) értéke(i)t a operátorral intervallum-értékké konvertáljuk.

  • A megfelelő logikai operátor intervallum-értékeken definiált változatát végezzük el.

  • operátorral az eredmény intervallum-értékből visszakonvertáljuk az eredményt valós számmá.

Könnyen belátható, ahogy a 2.7. ábrán is látható, hogy a konjunkció és a diszjunkció értéke így valóban a minimuma, illetve a maximuma lesz a két értéknek.

2.7. ábra - Példa a Gödel-féle konjunkcióra és diszjunkcióra intervallum-értékekkel.

Példa a Gödel-féle konjunkcióra és diszjunkcióra intervallum-értékekkel.

A negáció és az implikáció kiszámítása kicsit trükkösebb. Ekkor ugyanis, ahogy a 2.8. és 2.9. ábra is mutatja előfordul olyan eset, amikor az intervallum operátor eredményeként olyan intervallum-érték jön létre, amely tartalmaz olyan komponenst, ami nem vagy alakú. Könnyen ellenőrizhető, hogy ha az eredmény pontosan egy a 0 pontot is tartalmazó komponensből áll, akkor, mind a negáció esetén, mind az implikáció esetén maga a , vagyis a teljes intervallum az eredmény.

2.8. ábra - A Gödel-féle negáció modellezése intervallum-értékekkel.

A Gödel-féle negáció modellezése intervallum-értékekkel.

2.9. ábra - Példák a Gödel-féle implikációra intervallum-értékekkel.

Példák a Gödel-féle implikációra intervallum-értékekkel.

A konstruktív logikákban az igazságérték kifejezés helyett néha a bizonyíthatóság mértéke kifejezést használják, és ennek értéke lehet így és közti valós szám.

2.4.2. A Łukasiewicz-féle logika szemléltetése

A Łukasiewicz-féle logikai összekötőjelek szemléltetéséhez újabb operátorokat vezetünk be. Legyen a és operátor a következőképpen definiálva:

A operátorral egy intervallum-értéket tükrözünk a az intervallum felezőpontjára (az pontra). A tükrözés komponensenként történik, vagyis, ha az eredeti intervallum-érték egy komponense (vagy , vagy vagy ) alakú, akkor a megfelelő komponense (vagy , vagy , vagy ) alakú lesz (megfelelően). A operátor és a operátor együttes alkalmazásával bármely , értékhez a intervallum-értéket rendelhetjük hozzá.

A operátor bármely intervallum-értékhez hozzárendeli a komponenseinek az összhosszát.

A szemléltetés lépései a negáció, implikáció, illetve a konjunkció és diszjunkció műveletek esetén:

  • Az argumentum(ok) értéke(i)t a operátorral intervallum-értékké konvertáljuk.

  • A megfelelő logikai operátor intervallum-értékeken definiált változatát végezzük el.

  • operátorral az eredmény intervallum-értékből visszakonvertáljuk az eredményt valós számmá.

A 2.7., 2.8. és 2.9. ábrák alapján könnyen látható, hogy a szimuláció ezen műveletekre jól működik.

2.10. ábra - A Łukasiewicz-féle összekötőjelek modellezése intervallum-értékekkel.

A Łukasiewicz-féle összekötőjelek modellezése intervallum-értékekkel.

Lássuk most a Łukasiewicz-féle konjunkció ( ) és diszjunkció ( ) műveletek szemléltetését:

  • Az argumentumok értékeit a operátorral intervallum-értékké konvertáljuk.

  • A második argumentum intervallum-értékére alkalmazzuk a operátort.

  • A megfelelő logikai operátor intervallum-értékeken definiált változatát végezzük el.

  • operátorral az eredmény intervallum-értékből visszakonvertáljuk az eredményt valós számmá.

Ekkor a 2.10. ábra szemlélteti ezen operátorok modellezését.

Itt jegyezzük meg, hogy a Kleene-féle implikáció pedig pontosan beillik ebbe a sorba, ugyanis szemléltetése ugyanúgy történik, mint Łukasiewicz-féle összekötőjeleké.

2.4.3. A szorzat-logika szemléltetése

A szorzat logika szemléltetéséhez a és a operátorokat fogjuk a valós számok és az intervallum-értékek kapcsolatának megteremtésére. Az intervallumok szorzása alakú intervallum-értékek esetén kommutatív, vagyis . Sőt ebben az esetben a művelet „megfordítható”, a következő definíciót fogjuk használni:

Legyen adott és értéke: és . Ekkor, ha (vagyis ), akkor legyen . Ha , akkor legyen . Ekkor az utóbbi esetben teljesül, hogy . Egyébként ha adott az és értéke, akkor ebből teljesül. Most már, ezzel az újonnan bevezetett művelettel, készen állunk arra, hogy a szorzat-logika műveleteit szemléltessük.

  • Az argumentum(ok) értékeit a operátorral intervallum-értékké konvertáljuk.

    • Negáció esetén az intervallumokra értelmezett negációt végezzük el.

    • Konjunkció esetén az intervallumokra értelmezett szorzás operátort végezzük el.

    • Implikáció esetén használjuk a műveletet.

  • operátorral az eredmény intervallum-értékből visszakonvertáljuk az eredményt valós számmá.

A diszjunkciót a De Morgan azonosság alapján, vagyis a formulával, illetve annak szemléltetésével tudjuk meghatározni.

A következő részben a bitek logikáját tekintjük.

2.4.4. A bitek logikájának szemléltetése - vizuális igazságtábla

A bitsorozatok értékeihez a következő módon fogunk intervallum-értékeket rendelni. Legyen a bitek száma , ekkor az . bitnek a (atomi) intervallum-érték fog megfelelni ( értékekre). Ezek alapján az sorozathoz az intervallum-érték fog tartozni. A hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű, vagyis minden ily módon előálló értékre egyértelműen felírható a megfelelő bitsorozat is (rögzített esetén).

  • Az argumentum(ok) értékeinek megfelelő intervallum-értéket előállítjuk.

  • Elvégezzük a megfelelő logikai műveletet az intervallum-érték(ek)re.

  • Az eredmény intervallum-értéket visszakonvertáljuk a bitsorozattá.

Ha nem csak egy műveletet szeretnénk elvégezni, hanem akár egy összetett logikai kifejezést kiértékelni, akkor nem kell mindig visszakonvertálnunk bitsorozattá, és megint intervallum-értékké a már kiszámolt eredményeket, azokkal egyből számolhatunk tovább.

A SAT probléma hagyományos megoldása igazságtáblával történhet. Ennek egy formáját a következő példán mutatjuk be. Legyen a formula . A kérdés, hogy kielégíthető-e. A formulában 3 ítéletváltozó szerepel, ennek megfelelően különböző kiértékelés lehetséges, ezért nyolc bitnyi hosszúságú bitsorozatokkal (vagyis bájtokkal) fogunk dolgozni. A három változóhoz rendelünk először értéket: legyen , és . Látható, hogy így a nyolc „helyiértéken” nyolc különböző bitkombináció szerepel, vagyis mind a nyolc lehetőségünk megvan. Ahogy a formula felépül a részformuláiból, ugyanolyan sorrendben építsük fel a kiértékelést is. Az eredményt a 2.12. táblázat mutatja. Amint látjuk a táblázat utolsó sora tartalmaz igaz értéket (1-est), így a formula kielégíthető.

2.12. táblázat - Igazságtábla készítése.

részformula bitsorozat értéke
11110000
11001100
11000000
00001111
10101010
01011111
11011111
00100000
00111111
11000000

A 2.4. animáció azt mutatja meg, hogy az intervallum-értékek segítségével hogyan szemléltethetjük ezt a módszert.

2.4. animáció - Igazságtábla intervallum-értékekkel.

Aki számára a sok egyes és nullás leírása túl „számítógépízű”, az nyugodtan használhatja ezt a vizuális igazságtáblát. A vizuális információ miatt követni is könnyebb. Másik nagy előnye az intervallumok használatának, hogy nem kell előre megszámolni a szereplő ítéletváltozókat: az első változóhoz rendeljük a intervallum-értéket, a másodikhoz a -et és így tovább, ha újabb változót találunk mindig tovább „finomíthatjuk a felbontást”.

Itt jegyezzük meg, hogy az intervallum-értékű logika logikai törvényei (vagyis azon logikai formulák halmaza, amelyek értéke függetlenül az ítéletváltozókhoz rendelt intervallum-értékektől ) megegyeznek a hagyományos kétértékű logika logikai törvényeivel.

A következő részben az intervallumokat nem csak hagyományos számítások vizualizációjára fogjuk használni, hanem bevezetjük magát az intervallum-értékű számítási paradigmát. Ahogy látni fogjuk a 3.1.1. alfejezetben az eltolás művelet a nem logikai operátorok megvalósításában játszik fontos szerepet. Továbbá, könnyen belátható, hogy ugyancsak alapvető szerepet játszik a Post-féle ciklikus-tagadás intervallumokkal való megvalósításában is...