11.2. Kubit-transzformációk

Először is lássuk kicsit részletesebben, hogy miben is különböznek alapvetően a kubitek a hagyományos bitektől.

Képzeljük el a következő kísérletet. Tegyük fel, hogy van egy protonunk, aminek a mágneses momentuma a B mágneses mező irányába van állítva. A proton a állapotban van. Hirtelen kapcsoljuk ki a mezőt, ekkor a proton ugyanabban az állapotban marad, anélkül, hogy a mező ott lenne. Most kapcsoljunk a protonra egy másik mezőt, B’ -t, ami az eredetivel valamilyen szöget zár be. Természetesen, ahogy Stern kísérlete is mutatja a proton egy új kvantumállapotba kerül, amelyben a mágneses momentuma megegyező ( ) vagy ellentétes ( ) irányban áll a B’ mezővel. De vajon melyikbe? Nem tud(hat)juk. Nincs sem matematikai, sem kísérleti, sem másféle olyan módszer, amivel meg tudnánk mondani előre, hogy a proton a állapotból a és állapotok közül melyikbe tér át. Azt mondhatjuk, hogy a proton azt csinál, amit akar. A jelenlegi fizikai tudásunk szerint egy önálló kvantumrendszer viselkedése megjósolhatatlan (teljesen véletlen). Azért szerencsére ez a véletlen valószínűségekkel leírható: A kísérletet többször megismételve a protonok egy része az a másik része a állapotba vált. Amennyiben a kísérletek száma vagy az azonosan előkészített protonok száma elég nagy, akkor a két rész aránya egy olyan számhoz fog konvergálni, ami csak a szög függvénye. Az kimenetek előfordulásának aránya, ami a kísérletek statisztikai együttesén alapul, a -ból -be, illetve a -ból -be való átmenet valószínűsége.

A kvantummechanika alapvető fogalma a valószínűségi amplitúdó , amit kísérleti tapasztalatok alapján vezettek be. A -ból -be való átmenet valószínűségi amplitúdójának jelölése: és hasonlóan jelöli a valószínűségi amplitúdóját a -ból a -be történő átmenetnek. A -t szokás bra x-nek nevezni, így a kettel együtt, a Dirac-féle bra-ket jelölésről beszélhetünk, ami kiejtve az angol bracket, vagyis zárójel szót adja. (Itt jegyezzük meg, hogy az irodalomban megtalálható a jelölés is, de itt mi azt az általános jelölést követjük, ahol csak egy választja el a bra-ket két tagját.) A valószínűségi amplitúdó értéke általában komplex szám. Az átmenet valószínűségét ebből úgy kapjuk meg, hogy vesszük a megfelelő valószínűségi amplitúdót és megszorozzuk a komplex konjugáltjával. Így például,

ahol a -ból az állapotba való átmenet valószínűsége. Az amplitúdók valószínűségi interpretációja a következő kézenfekvő feltételt adja:

11.. egyenlet -


Ha egy átmenet több lépésben valósul meg, akkor az adott átmenet valószínűségi amplitúdóját a lépésekben megvalósuló átmenetek valószínűségi amplitúdójának a szorzata adja. Például, ha egy proton átvált (a B mágneses mezőhöz tartozó) -ból (a B’ mezőhöz tartozó) -be utána pedig -ből (a B” mezőnek megfelelő) -be akkor a teljes folyamat valószínűségi amplitúdója:

Ha a proton a -ból az -be az állapoton keresztül is eljuthat, vagyis a proton „választhat”, hogy -ból -be vagy -be tér át a -ba vezető út során, akkor az átmenet valószínűségi amplitúdóját az összes lehetőség valószínűségi amplitúdójának az összege adja:

11.. egyenlet -


Ezt a sajátságos kvantumeffektust kvantum interferenciá nak vagy kvantum párhuzamosság nak szokták nevezni. Az ok amiért a fizikusok kvantumpárhuzamosságnak nevezik, az az, hogy a feltételek értelmezhetőek úgy, hogy a proton -ból -be egyidejűleg megy és állapotokon keresztül is (vagyis, ahogy láttuk az előző fejezetben leírt optikai kísérletet, ahhoz hasonlóan itt a proton volt egyszerre két állapotban, interferált saját magával). Feynman út-integrál formulája a kvantummechanikában ugyanezt a dolgot jelenti. Van egy részecskénk, ami kibocsátódik egy jól definiált helyről valamilyen időben, majd egy másik időpontban megérkezik egy máshol elhelyezett detektorhoz. A kiindulási ponttól a detektorig a részecske különböző utakon (röppályákon) és különböző sebességgel mozoghat. Feynman elve azt mondja, hogy a részecske egyszerre párhuzamosan követi ezeket a röppályákat, mindet. A teljes folyamat valószínűségi amplitúdója pedig megegyezik az egyes röppályákhoz tartozó valószínűségi amplitúdók összegével.

Nézzük a következő kísérletet, amelyben a proton először B -hez majd B’ -hez majd ismét B -hez igazodik. Tegyük fel, hogy a proton a állapotban van. A valószínűségi amplitúdója annak, hogy a folyamat végére ebben is marad:

mivel a proton -ból ugyan ide két úton juthat: -n és -n keresztül. Mivel a statikus mágneses mező nem végezhet semmilyen munkát, ezért a folyamat teljes lefolyása alatt nem történhet energiaáramlás. Ebből arra következtethetünk, hogy a proton megtartja eredeti állapotát. Emiatt a fenti folyamat amplitúdójának 1-nek kell lennie. Most vessük össze az eredményünket az előzőekkel, ami a (11.) egyenlőséggel kezdődött. Tekintve a megfelelő amplitúdókat a következő két egyenlőséget kapjuk:

Ennek a két egyenlőségnek minden szögre teljesülnie kell. Ez csak akkor lehetséges, ha

és

Ugyanez mutatható meg , , és összes többi kombinációjára. Tehát kijelenthetjük, hogy

minden és kvantumállapotra.

Most egészítsük ki a megfigyelésünket a következő állításokkal:

Vegyük újra elő a (11.)-es képletet, amely egy átmenetet ír le B -ből B’ -n keresztül valamilyen B” -be. Minden végső állapotra felírhatjuk az alábbi összefüggéseket:

Mivel ez minden -re és minden B” -re fennáll, ezért a fenti egyenletek mindkét oldaláról elhagyhatjuk az előtagot. Ekkor a következőket kapjuk:

Ez a két egyenlet fejezi ki a kvantummechanikai szuperpozíció elvét . Láthatjuk, hogy ez nem más, mint a kvantumpárhuzamosság.

Az összes eddigi tapasztalatunkat összevetve a következőket kapjuk:

Ha a B’ merőleges a B -re, akkor a és állapotok szimmetrikusak a és állapotokra nézve, és fordítva. Ebből következtethetünk arra, hogy a -ből -be vezető transzformációnak is rendelkeznie kell hasonló szimmetriával, vagyis egyik bázisvektorpár sem preferáltabb a többinél. Íme egy példa egy ilyen transzformációra:

Ez egy azon transzformációk közül, amik a proton 90˚-os elforgatását írják le. A neve Hadamard-transzformáció .

Tegyük fel, hogy a protonunk a kezdőállapotban van, de ekkor átkapcsoljuk a külső mágneses mezőt B’ -re ami merőleges B -re, és ebben az új rendszerben végzünk számításokat. A kezdőállapota a protonnak ekkor:

Másrészről a proton sem nem a -t sem nem -t tárolja, hanem a két lehetséges logikai értéknek egy fura kinézetű szuperpozícióját . Ez kicsit emlékeztet a fuzzy logikákra. A B és B’ által bezárt szögtől függően a protont megtölthetjük az igaz (1) és hamis (0) tetszőleges arányával. Emlékezzünk vissza, hogy csak akkor tudhatjuk meg, mi ez az arány, ha méréseket végzünk egyformán előkészített és feldolgozott protonok sokaságán. Az egy protonon elvégzett mérés eredménye vagy vagy lesz, és hogy melyik, az általános esetben megjósolhatatlan.