12. fejezet - Kvantumkapuk

Nézzük most azokat a legegyszerűbb elemeket, amik a kvantumrendszerek megvalósításához szükségesek. A klasszikus számítógépek egységei, mint például a NAND kapuk (ezek legalább két tranzisztort és több ellenállást is tartalmaznak), rendkívül bonyolultak.

Ezzel szemben a kvantumszámításokhoz szükséges elemi berendezések sokkal egyszerűbben megvalósíthatók, amit itt elsősorban helyhiány miatt nem részletezünk.

A kubitek evolúciója, vagyis dinamikus változása képezi a számítási folyamatot a kvantumrendszerben. A kubitek dinamikájának elméleti leírásával kezdünk, majd konkrét gyakorlati példákat adunk olyan operátorokra, amelyek fontos szerepet játszanak a kvantumszámításokban.

12.1. Elméleti leírás és eredmények

A kvantummechanika szerint egy kvantumrendszer evolúciója lineáris operátorokkal írható le, másrészt az operátorok olyanok, hogy kvantumállapotból kvantumállatot állítanak elő. Az ilyen tulajdonságú operátorok az unitér operátorok. Minden unitér operátorra jellemző, hogy

  • hossztartó,

  • szögtartó.

Az ilyen operátorok izometrikusak, tulajdonképpen ezesetben elforgatásoknak felelnek meg. Legyen egy unitér operátor mátrixa, ekkor , vagyis az operátor mátrixát a saját komplex konjugáltjának a transzponáltjával megszorozva az egységmátrixot kapjuk (szokás ezzel a tulajdonsággal definiálni is az unitér operátorokat, vagyis egy operátor akkor unitér, ha mátrixára teljesül, hogy ). Ennek megfelelően az unitér operátorok megtartják a belső szorzatot: . Ezen operátorok sajátértékei az egységkörön helyezkednek el. Vegyük észre, hogy az unitér operátorok reverzibilisek, bármely unitér operátor esetén is unitér operátor. Tehát az unitér operátorokkal végzett művelet(ek) megfordítható(ak).

Egy kubit kvantumevolúciója (vagy kvantumtranszformációja) tehát unitér operátorokkal írható le. Bármely alakú unitér operátort tekinthetjük egy egyszerű (egykubites) kubit kapunak. Tekintve a bázist a transzformáció teljes leírásához elég megadnunk a bázisvektorok képeit. Így az -es mátrixának megadása a következőképpen történik: az első oszlopba az értéket írjuk, míg a második oszlopba a értéket. Egy általános transzformáció alakja

ami egy általános

kubitet a

állapotba transzformál, hiszen

Általában, ha két unitér operátor az ás mátrixokkal írható le, akkor a szorzatuk szintén egy unitér operátort fog leírni.

12.1.1. Ismeretlen kvantumállapot nem másolható

A kvantummechanika egyik legérdekesebb és legfontosabb jellemzője, hogy egy ismeretlen kvantumállapotot nem lehet lemásolni. Ez nemcsak gyakorlati tény, hanem elméletileg is így van. Ezt mutatjuk most be: Tegyük fel indirekt, hogy egy olyan operátor, ami az első kubit értékét átmásolja a második, eredetileg értékű kubitbe, úgy, hogy közben az eredeti érték megmarad az első kubitben is. Tehát, tetszőleges komplex számokra ( feltétel teljesülése esetén):

Ekkor a tenzorszorzást elvégezve

kell, hogy legyen tehát a művelet eredménye. Másrészt viszont előbb elvégezve a tenzorszorzást és a komponensekre alkalmazva -t azt kapjuk, hogy

Ez viszont azt jelenti, hogy az értéket kétféleképpen is felírtuk a bázisvektorok lineáris kombinációjaként, amiknek egyenlőnek kell lenniük, vagyis

Ez viszont csak akkor teljesül, ha az és közül pontosan az egyik értéke 0, a másiké pedig 1. Feltevésünk szerint pedig tetszőleges kvantumállapotot másol, ez ellentmondást jelent. Tehát nincs olyan transzformáció, ami tetszőleges (szuperpozícióban levő) kvantumállapotot klónozni tudna.

A kvantummechanikának a fenti jellemezője azt mutatja, hogy a kvantumalgoritmusoknak lényegesen különbözniük kell a hagyományos algoritmusoktól. A hagyományos számítástechnikában (csakúgy, mint pl. az intervallum-értékű vagy a DNS számítások esetén is) egy adott érték lemásolása (pl. értékadó utasítással, vagy DNS lánc esetén polimeráz láncreakcióval) nemhogy gondot nem okozott, de annyira alapvető fontosságú, hogy tulajdonképpen e nélkül is nem is képzelhetjük el az adott számítási paradigma számításait: a változókat (korábbi intervallum-értékeket stb.) többször felhasználhatjuk értékadásokban (a jobb oldalon) anélkül, hogy értékük változna. Mint láttuk, a „klónozás” a DNS számítógép egyik „fegyvere”, ettől hatékony: rövid idő alatt akár milliószoros példányban lesz jelen az adott molekula. Ezzel szemben, ahogy a mérés problematikáját már tárgyaltuk, a kvantummechanikában egy adat lemásolása ugyancsak beavatkozás lenne a rendszerbe, ha viszont mérünk előbb, akkor a már ismert (megmért, tehát sajátértékre beállt értékű) kubitet másolhatjuk. Ismeretlen értékű kvantumbit általánosságban, ahogy láttuk, nem másolható elvileg sem.

Ez az alapvető tulajdonsága a kubiteknek viszont alkalmazásra is talált a kvantumkommunikációban, amire később még visszatérünk.

12.1.2. Összefonódott állapotok leírása

Ebben az alfejezetben újabb különbséget mutatunk a klasszikus és a kvantum- számítási paradigma között. Amíg klasszikusan egy regiszter tartalma mindig felírható az őt alkotó bitek értékeiből, addig vannak olyan kvantumállapotok, amelyek nem írhatóak fel a komponenseikből. Erre példa a kvantumállapot. Ez az állapot nem írható le két kvantumbit tenzorszorzataként. Már korábban tárgyaltuk a kvantum-összefonódás jelenségét, most jutottunk el oda, hogy ezeket az összefonódott állapotokat matematikailag is le tudjuk írni. Azok a kvantumállapotok amelyek nem írhatóak le kvantumbitek tenzorszorzataként, ilyen összefonódott állapotokat testesítenek meg.

Ahogy említettük, az összefonódott kvantumállapotok nem függetlenek egymástól, ez a következő jelenségben ölt testet: A kvantum-összefonódásban résztvevő két kubit bármilyen igen-nem kérdésre pontosan az ellenkező választ adja. Már az egyik kubit mérésekor megszűnik a koherens szuperpozíció, és a másik kubit felveszi az ellenkező választ jelentő (saját)értéket.