12.2. Egykubites kapuk

Ebben a fejezetben a legegyszerűbb kapuk közül adunk meg néhányat.

12.2.1. A Hadamard-transzformáció megadása

A korábban már többször említett Hadamard-transzformáció mátrixa:

Ekkor

vagyis önadjungált operátorról van szó, továbbá a szokásos mátrix-szorzással számolva:

Tenzorszorzással pedig értelmezhetjük a magasabb dimenziós megfelelőit, vagyis a (Walsh-)Hadamard-transzformációt kubiten, amit tulajdonképpen a (11.) képletben is használtunk.

Az első fontos kaput, a Hadamard kaput (transzformációt) már említettük korábban is, most lássunk néhány további alapvető kvantumkaput.

12.2.2. Forgató operátorok

A legegyszerűbb elforgató operátorokat a következőképpen írhatjuk le. Legyen egy 0˚ és 360˚ közötti szög, ekkor a -vel való elforgatás operátora:

Ennek megfelelően a bázisvektorokon egy ilyen operátor hatása a következőképpen írható le:

és

Könnyen ellenőrizhető, hogy , tehát bármely szögre unitér transzformáció. A ˚ speciális esetben pedig éppen a Hilbert tér identikus relációját kapjuk: .

12.2.3. Negáció kvantumkapukkal

Egy egykubites kaput megfeleltethetünk egy egybites logikai kapunak, és ily módon lehetőségünk van (az egyetlen) klasszikus egybites kapu kvantumos megfelelőjének a definiálására. Ennek megfelelően a

kapu jelenti kvantumos tagadás műveletet. Ezt pedig a bázisvektorokra alkalmazva:

és hasonlóan

vagyis éppen felcseréli a két bázisállapotot, ahogy vártuk. Világos, hogy a is unitér operátor.

Deutsch 1992-ben vezette be a következő kvantumműveletet, amely hatása a bázisvektorokon a következőképpen írható le:

Ennek megfelelően a mátrixa:

Könnyen ellenőrizhető, hogy nem véletlenül viseli a kapu a gyök-nem nevet, hiszen a négyzete , vagyis kétszer egymás után alkalmazva éppen a tagadást leíró kaput szimulálja. Ebben a kapuban már kihasználjuk, hogy komplex számokkal számolunk. Ez a kapu is unitér transzformációt ír le, hiszen

Láthatjuk, hogy a kvantumbitekkel olyan transzformációkat is tudunk végezni, amit a hagyományos bitekkel nem, hiszen pl. az utóbbi operátornak nincs klasszikus megfelelője.

12.2.4. Fáziseltoló operátorok

A fáziseltolás operátorát a

egyenlőségekkel definiálhatjuk. Ennek megfelelően a mátrixa:

Ezek az operátorok a alapállapotot változatlanul hagyják, érdekes módon sem a , sem az állapotnak nem változik meg a valószínűsége, ha egy ilyen operátor végrehajtása után végezzük a mérést, és nem előtte. (Itt jegyezzük meg, hogy a mátrix jobb alsó sarkában szereplő , az Euler formulának megfelelően.) Speciális esetként a 180˚-kal való fáziseltolás operátorának hatása

Így a mátrixa ennek a speciális operátornak:

Érdekes megvizsgálnunk az előző operátor és a kombinált alkalmazását, vagyis a szorzatukként előálló operátort. Ekkor

és

Így ennek az operátornak a mátrixa éppen

Könnyen ellenőrizhető, hogy a és a transzformációk is unitér transzformációk.