C. függelék - Valószínűségszámítás és statisztika

Véletlen kísérlet alatt olyan mérési folyamatot értünk, melynél a kimenetel bizonytalan. Ilyen például egy kocka feldobása, egy kártyalap kihúzása a pakliból, vagy éppen egy hálózati útválasztón (router) áthaladó forgalom típusa. Az összes lehetséges kimenetelek Ω halmaza a mintatér vagy eseménytér. A kockadobás mintatere például Ω={1,2,3,4,5,6} . Esemény alatt ezen kimenetelek egy E⊆Ω részhalmazát értjük. Így például E={2,4,6} az az esemény, hogy a kockával párosat dobunk.

A P valószínűség az Ω mintatéren értelmezett valós értékű függvény, mely a következő tulajdonságokat teljesíti:

P( ∪ i=1 k E i )= ∑ i=1 k P( E i ).

Egy E esemény P(E) valószínűsége E bekövetkezéseinek aránya egy potenciálisan végtelen hosszú kísérletsorozatban.^[10]

Véletlen kísérletekben gyakran egy számunkra érdekes mennyiséget szeretnénk mérni, például az írások számát egy érme ötvenszeri feldobása esetén, vagy egy vidámparki hullámvasútra váró sorban a következő személy magasságát. Mivel ez a mért mennyiség a véletlen kísérlet kimenetelétől függ, véletlen változónak vagy valószínűségi változónak nevezzük. Egy véletlen változó felvett értékeinek halmaza lehet diszkrét vagy folytonos. Egy ún. Bernoulli típusú valószínűségi változó diszkrét, mert értékkészlete mindössze a 0 és 1 értékeket tartalmazza.

Annak a valószínűsége, hogy egy X diszkrét valószínűségi változó egy ν értéket vesz fel, megegyezik az összes olyan e kimenetelek teljes valószínűségével, melyekre X(e)=ν :

P(X=ν)=P(E={e|e∈Ω,X(e)=ν}). (C.1)

Egy X diszkrét valószínűségi változó fenti valószínűségi eloszlása valószínűségi tömegeloszlásként is ismert.

C.1. Példa.

Tekintsünk egy olyan véletlen kísérletet, melyben egy szabályos érmét dobunk fel négy alkalommal. Ebben a kísérletben 16 lehetséges kimenetel van: FFFF, FFFI, FFIF, FIFF, IFFF, FFII, FIFI, IFFI, FIIF, IFIF, IIFF, FIII, IFII, IIFI, IIIF és IIII, ahol F a fejet, I pedig az írást jelöli. Legyen X az a valószínűségi változó, mely azt méri, hogy a kísérlet során hányszor lett írás az eredmény. Az öt lehetséges értéke X -nek 0,1,2,3 és 4 . X valószínűségi eloszlását a következő táblázat tartalmazza:

Például P(X=2)=6/16 , mert hat olyan kísérlet van, melyben két írás szerepel a négy dobás között.

Másrészt, ha X folytonos valószínűségi változó, akkor annak a valószínűsége, hogy X az a és b értékek között veszi fel értékeit

P(a≤x≤b)= ∫ a b f(x)dx. (C.2)

Az f(x) függvényt (valószínűségi) sűrűségfüggvénynek nevezzük. Folytonos valószínűségi változó esetén nulla annak a valószínűsége, hogy X egy meghatározott x értéket vesz fel.

A C.1. táblázat néhány jól ismert diszkrét és folytonos valószínűségi eloszlást tartalmaz. A valószínűségi eloszlás fogalma kiterjeszthető több valószínűségi változóra is. Ha például X és Y két valószínűségi változó, akkor p(X,Y) jelöli az együttes sűrűségfüggvényüket. A valószínűségi változók függetlenek, ha P(X,Y)=P(X)⋅P(Y) . Két valószínűségi változó függetlensége azt jelenti, hogy az egyik valószínűségi változó értéke nincs hatással a másik értékére.

A feltételes valószínűség egy másik hasznos fogalom valószínűségi változók függőségének megértésére. Az Y valószínűségi változó X feltételre nézve vett P(Y|X) feltételes valószínűségét a

P(Y|X)= P(X,Y) P(X) (C.3)

módon definiáljuk. Ha X és Y függetlenek, akkor P(Y|X)=P(Y) . A P(Y|X) és P(X|Y) feltételes valószínűségek kifejezhetők egymással a Bayes-tétel segítségével:

P(Y|X)= P(X|Y)P(Y) P(X) . (C.4)

Ha { X 1 , X 2 ,…, X k } az X valószínűségi változó egymást kölcsönösen kizáró és a teljes eseményteret lefedő kimenetelei, akkor a nevező kifejezhető a következőképpen:

P(X)= ∑ i=1 k P(X, Y i )= ∑ i=1 k P(X| Y i )P( Y i ). (C.5)

(app:total_prob) egyenletet a teljes valószínűség tételének nevezzük.