Valószínűségszámítás és statisztika

Fazekas, István

Új Széchenyi Terv logó.

Debreceni Egyetem

Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház

A tananyagfejlesztés az Európai Unió támogatásával és az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával a TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0046 számú Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház projekt keretében valósult meg.

Kivonat

Nemzeti Fejlesztési Ügynökség http://ujszechenyiterv.gov.hu/ 06 40 638-638

Lektor

Csiszár Villő

ELTE, adjunktus


Tartalom

1. A valószínűségszámítás alapfogalmai
1.1. 1.1. A valószínűség
1.1.1. 1.1.1. Az eseménytér
1.1.2. 1.1.2. Műveletek események között
1.1.3. 1.1.3. A valószínűség fogalmának statisztikai jellegű megvilágítása
1.1.4. 1.1.4. A valószínűség axiómái
1.1.5. 1.1.5. A valószínűség tulajdonságai
1.1.6. 1.1.6. Véges valószínűségi mezők
1.1.7. 1.1.7. A klasszikus valószínűségi mező
1.2. 1.2. Halmazalgebrák és -algebrák
1.2.1. 1.2.1. A valószínűség -additivitása
1.2.2. 1.2.2. A valószínűség folytonossága
1.2.3. 1.2.3. Megszámlálható valószínűségi mezők
1.2.4. 1.2.4. A valószínűség geometriai kiszámítási módja
1.3. 1.3. A feltételes valószínűség
1.3.1. 1.3.1. A feltételes valószínűség fogalma
1.3.2. 1.3.2. A teljes valószínűség tétele
1.3.3. 1.3.3. Bayes tétele
1.4. 1.4. Események függetlensége
1.4.1. 1.4.1. Két esemény függetlensége
1.4.2. 1.4.2. Több esemény függetlensége
1.4.3. 1.4.3. A valószínűség geometriai kiszámítási módja és a függetlenség
2. Diszkrét valószínűségi változók
2.1. 2.1. Véletlentől függő mennyiségek
2.1.1. 2.1.1. Mennyit nyerünk?
2.1.2. 2.1.2. Valószínűségi változók eloszlása
2.1.3. 2.1.3. Együttes eloszlások
2.1.4. 2.1.4. Függetlenség
2.1.5. 2.1.5. A konvolúció
2.2. 2.2. Diszkrét valószínűségi változók várható értéke
2.2.1. 2.2.1. A várható nyeremény
2.2.2. 2.2.2. A várható érték és a függetlenség
2.3. 2.3. A szórás
2.3.1. 2.3.1. Az ingadozás mértéke
2.3.2. 2.3.2. A szórás tulajdonságai
2.3.3. 2.3.3. A Csebisev-egyenlőtlenség
2.4. 2.4. A korrelációs együttható
2.4.1. 2.4.1. A kovariancia
2.4.2. 2.4.2. A korrelációs együttható
2.4.3. 2.4.3. Valószínűségi vektorváltozók
2.4.4. 2.4.4. A legkisebb négyzetes predikció
2.5. 2.5. Nevezetes diszkrét eloszlások
2.5.1. 2.5.1. A hipergeometrikus eloszlás
2.5.2. 2.5.2. A polihipergeometrikus eloszlás
2.5.3. 2.5.3. A binomiális eloszlás
2.5.4. 2.5.4. A binomiális eloszlás további tulajdonságai
2.5.5. 2.5.5. A polinomiális eloszlás
2.5.6. 2.5.6. A negatív binomiális eloszlás
2.5.7. 2.5.7. A Poisson-eloszlás
3. Valószínűségi változók
3.1. 3.1. Valószínűségi változók, eloszlások, eloszlásfüggvények
3.1.1. 3.1.1. A valószínűségi változó fogalma
3.1.2. 3.1.2. Eloszlások
3.1.3. 3.1.3. Eloszlásfüggvények
3.1.4. 3.1.4. Kvantilisek
3.2. 3.2. Sűrűségfüggvények
3.2.1. 3.2.1. A sűrűségfüggvény fogalma
3.2.2. 3.2.2. A normális eloszlás
3.2.3. 3.2.3. Valószínűségi változók függvényei
3.3. 3.3. A várható érték és a szórás
3.3.1. 3.3.1. A várható érték definíciója
3.3.2. 3.3.2. Momentumok
3.3.3. 3.3.3. A várható érték tulajdonságai
3.3.4. 3.3.4. A szórás
3.4. 3.4. Valószínűségi változók együttes eloszlása
3.4.1. 3.4.1. Együttes eloszlásfüggvények
3.4.2. 3.4.2. Együttes sűrűségfüggvények
3.4.3. 3.4.3. A függetlenség
3.4.4. 3.4.4. A kovariancia
3.5. 3.5. Valószínűségi vektorváltozók
3.5.1. 3.5.1. Többdimenziós eloszlások
3.5.2. 3.5.2. A várható érték vektor és a szórásmátrix
3.5.3. 3.5.3. A többdimenziós normális eloszlás
3.5.4. 3.5.4. A konvolúció
3.6. 3.6. A nagy számok törvényei
3.6.1. 3.6.1. A Markov- és a Csebisev-egyenlőtlenség
3.6.2. 3.6.2. A nagy számok gyenge törvényei
3.6.3. 3.6.3. A nagy számok Bernoulli-féle törvénye
3.6.4. 3.6.4. A nagy számok erős törvényei
3.7. 3.7. A központi határeloszlás-tétel
3.7.1. 3.7.1. A határeloszlás-tétel lokális alakja Bernoulli-féle kísérletsorozatra
3.7.2. 3.7.2. A határeloszlás-tétel integrál alakja Bernoulli-féle kísérletsorozatra
3.7.3. 3.7.3. Valószínűségeloszlások konvergenciája
3.7.4. 3.7.4. A központi határeloszlás-tétel az általános esetben
3.7.5. 3.7.5. A központi határeloszlás-tétel lokális alakja
3.7.6. 3.7.6. A központi határeloszlás-tétel szemléltetése
4. Nevezetes abszolút folytonos eloszlások
4.1. 4.1. Az egyenletes eloszlás
4.1.1. 4.1.1. Az egyenletes eloszlás jelentése
4.1.2. 4.1.2. Az egyenletes eloszlás jellemző mennyiségei
4.1.3. 4.1.3. A többdimenziós egyenletes eloszlás
4.2. 4.2. Az exponenciális eloszlás
4.2.1. 4.2.1. Az exponenciális eloszlás definíciója
4.2.2. 4.2.2. Az exponenciális eloszlás jellemző mennyiségei
4.2.3. 4.2.3. Az exponenciális eloszlás tulajdonságai
4.2.4. 4.2.4. A Laplace-eloszlás
4.3. 4.3. A normális eloszlás
4.3.1. 4.3.1. A normális eloszlás definíciója
4.3.2. 4.3.2. A standard normális eloszlás
4.3.3. 4.3.3. A normális eloszlás jellemzői
4.4. 4.4. A többdimenziós normális eloszlás
4.4.1. 4.4.1. A többdimenziós standard normális eloszlás
4.4.2. 4.4.2. A többdimenziós normális eloszlás általános alakja
4.4.3. 4.4.3. A többdimenziós normális eloszlás szemléltése
4.4.4. 4.4.4. A többdimenziós normális eloszlás tulajdonságai
4.5. 4.5. A normális eloszlásból származó eloszlások
4.5.1. 4.5.1. A gamma-függvény
4.5.2. 4.5.2. A khi-négyzet eloszlás
4.5.3. 4.5.3. A Student-eloszlás
4.5.4. 4.5.4. Az F-eloszlás
5. A statisztika alapfogalmai
5.1. 5.1. A minta
5.1.1. 5.1.1. A minta és a minta realizáció
5.1.2. 5.1.2. A statisztikai mező
5.1.3. 5.1.3. Az empirikus eloszlásfüggvény
5.1.4. 5.1.4. Hisztogramok
5.2. 5.2. Statisztikák
5.2.1. 5.2.1. Az empirikus közép
5.2.2. 5.2.2. Az empirikus szórásnégyzet
5.2.3. 5.2.3. A statisztika fogalma
5.2.4. 5.2.4. Az empirikus korrelációs együttható
5.3. 5.3. Statisztikai adatok áttekintése
5.3.1. 5.3.1. Az adatok elemzésének lépései
5.3.2. 5.3.2. A minta numerikus jellemzői
5.3.3. 5.3.3. A minta középértékének és szóródásának leírása
5.3.4. 5.3.4. A minta eloszlásának leírása
5.3.5. 5.3.5. A minta grafikus jellemzői
5.3.6. 5.3.6. Diagramok
5.3.7. 5.3.7. Boxdiagram
6. Statisztikai eljárások
6.1. 6.1. Statisztikai becslések
6.1.1. 6.1.1. A maximum-likelihood-becslés
6.1.2. 6.1.2. Konfidencia intervallumok
6.2. 6.2. Paraméteres próbák
6.2.1. 6.2.1. -próba.
6.2.2. 6.2.2. Elfogadási és kritikus tartomány
6.2.3. 6.2.3. Kétmintás -próba
6.2.4. 6.2.4. Próbák konstrukciója
6.2.5. 6.2.5. Egymintás -próba
6.3. 6.3. Khi-négyzet próbák
6.3.1. 6.3.1. Tiszta illeszkedésvizsgálat
6.3.2. 6.3.2. Az illeszkedésvizsgálat végrehajtása
6.3.3. 6.3.3. Becsléses illeszkedésvizsgálat
6.3.4. 6.3.4. Függetlenségvizsgálat
6.4. 6.4. Szórásanalízis, regresszióanalízis
6.4.1. 6.4.1. Szórásanalízis
6.4.2. 6.4.2. Regresszióanalízis
7. Appendix
7.1. 7.1. Kombinatorika
7.2. 7.2. Sorozatok, sorok, határértékek
7.3. 7.3. Differenciálszámítás
7.4. 7.4. Integrálszámítás
7.5. 7.5. Vektorok és mátrixok
7.6. 7.6. Megoldások
7.6.1. 7.6.1. 1. fejezet
7.6.2. 7.6.2. 2. fejezet
7.6.3. 7.6.3. 3. fejezet
7.6.4. 7.6.4. 4. fejezet
7.6.5. 7.6.5. 5. fejezet
7.6.6. 7.6.6. 6. fejezet
7.7. 7.7. Táblázatok
Irodalomjegyzék

Az ábrák listája

1.1. Műveletek és relációk események között
1.2. Fej-dobások relatív gyakorisága
1.3. Az Az a szélességű sáv az 1.3. példában szélességű sáv az 1.3. példában
1.4. Teljes eseményrendszer
1.5. A kedvező terület az 1.15. példában
1.6. A kedvező térfogat az 1.16. példában
2.1. A hipergeometrikus eloszlás A hipergeometrikus eloszlás N=20 , M=12 és n=6 esetén, A hipergeometrikus eloszlás N=20 , M=12 és n=6 esetén és A hipergeometrikus eloszlás N=20 , M=12 és n=6 esetén esetén
2.2. p=0.25 , n=10 esetén a binomiális eloszlás, p=0.25 , n=10 esetén a binomiális eloszlás esetén a binomiális eloszlás
2.3. \lambda=2 paraméterű Poisson-eloszlás paraméterű Poisson-eloszlás
3.1. A A p=1/2 , n=4 paraméterű binomiális eloszlás eloszlásfüggvénye, A p=1/2 , n=4 paraméterű binomiális eloszlás eloszlásfüggvénye paraméterű binomiális eloszlás eloszlásfüggvénye
3.2. Eloszlásfüggvény és inverze
3.3. A Cauchy-eloszlás kvartilisei és mediánja
3.4. A Cauchy-eloszlás sűrűségfüggvénye
3.5. Kétdimenziós exponenciális eloszlásfüggvény
3.6. A nagy számok Bernoulli-féle törvénye
3.7. Sztochasztikus konvergencia a 3.23. példában
3.8. Integrál közelítő kiszámítása
3.9. A binomiális eloszlás közelítése normálissal
3.10. A binomiális eloszlásfüggvény közelítése normálissal
3.11. Eloszlásfüggvények konvergenciája
3.12. A standardizált bolyongás
3.13. A standardizált bolyongás ismétléseinek eredménye
4.1. Az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye
4.2. Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye
4.3. 2, ill. 3 egyenletes eloszlás konvolúciója
4.4. Az exponenciális eloszlásfüggvény
4.5. Az exponenciális sűrűségfüggvény
4.6. Normális sűrűségfüggvények különböző szórásokra
4.7. Hisztogram és normális sűrűségfüggvény
4.8. A standard normális sűrűségfüggvény
4.9. A standard normális eloszlásfüggvény
4.10. A kétdimenziós normális sűrűségfüggvény
4.11. Koncentráció ellipszisek
4.12. Koncentráció ellipszoidok
4.13. A khi-négyzet eloszlás sűrűségfüggvénye
4.14. \chi_{30}^{2} és \mathcal{N}(30,60) sűrűségfüggvényeés \chi_{30}^{2} és \mathcal{N}(30,60) sűrűségfüggvénye sűrűségfüggvénye
4.15. \chi_{20}^{2} és \chi_{20}(5) sűrűségfüggvényeés \chi_{20}^{2} és \chi_{20}(5) sűrűségfüggvénye sűrűségfüggvénye
4.16. A Student-eloszlás sűrűségfüggvénye
4.17. Az Az F -eloszlás sűrűségfüggvénye-eloszlás sűrűségfüggvénye
5.1. 5 elemű minta empirikus eloszlásfüggvénye
5.2. 50 elemű minta empirikus eloszlásfüggvénye és az elméleti eloszlásfüggvény
5.3. Durva beosztású hisztogram
5.4. Megfelelő beosztású hisztogram és az elméleti sűrűségfüggvény
5.5. Túl sűrű beosztású hisztogram
5.6. Valószínűségek és relatív gyakoriságok a binomiális eloszlás esetén
5.7. A 20, 40, 60 és 80 százalékos kvantilisek
5.8. A gyakoriságok kördiagramja
5.9. A gyakoriságok oszlopdiagramja
5.10. Boxdiagram
5.11. Standard normális eloszlás esetén a kiugró és az extrém értékek valószínűsége
6.1. A standard normális sűrűségfüggvény és A standard normális sűrűségfüggvény és u_{\alpha/2} kapcsolata kapcsolata
6.2. A kritikus érték és a standard normális sűrűségfüggvény
7.1. Paraboloidok és nyeregfelület
7.2. Az Az \boldsymbol{y} vektor merőleges vetülete a V altérre vektor merőleges vetülete a Az \boldsymbol{y} vektor merőleges vetülete a V altérre altérre
7.3. A standard normális eloszlás táblázata
7.4. A standard normális eloszlás táblázata
7.5. A khi-négyzet próba táblázata
7.6. Az Az F -próba táblázata-próba táblázata
7.7. Az Az F -próba táblázata-próba táblázata
7.8. Az Az F -próba táblázata-próba táblázata
7.9. Az Az t -próba táblázata-próba táblázata
7.10. A binomiális eloszlás táblázata
7.11. A binomiális eloszlás táblázata
7.12. A binomiális eloszlás táblázata
7.13. A binomiális eloszlás táblázata
7.14. A Poisson-eloszlás táblázata
7.15. A Poisson-eloszlás táblázata
7.16. A Poisson-eloszlás táblázata
7.17. A Poisson-eloszlás táblázata