1. fejezet - A valószínűségszámítás alapfogalmai

1.1. 1.1. A valószínűség

A valószínűségszámítás témája: a véletlen tömegjelenségekre vonatkozó törvényszerűségek megállapítása. Véletlen jelenség az, aminek a kimenetelét a tekintetbe vett (rendelkezésre álló) feltételek nem határozzák meg egyértelműen. Tömegjelenségen pedig olyan jelenséget értünk, amely nagy számban megy végbe egyszerre (pl. atomi bomlás), vagy sokszor megismételhető (pl. szerencsejátékok). A levonható törvényszerűségek statisztikai jellegűek, azaz nagy számú végrehajtás során átlagosan érvényes törvények.

A véletlen jelenségek leírására sztochasztikus modelleket használunk. Ilyen modellek esetén az adott feltételrendszer nem határozza meg egyértelműen, hogy egy esemény bekövetkezik-e, vagy sem. Ezzel ellentétben, az ún. determinisztikus modellek esetén a tekintetbe vett feltételrendszer egyértelműen meghatározza, hogy egy adott esemény bekövetkezik-e vagy sem.

1.1.1. 1.1.1. Az eseménytér

Tekintsünk egy véletlen kísérletet. A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az elemi esemény karakterisztikus tulajdonsága, hogy csak egyféleképp következhet be. Az elemi eseményeket szimbólumokkal jelöljük. Az adott kísérlethez tartozó összes elemi esemény halmazát eseménytérnek (mintatérnek) nevezzük és -val jelöljük. Az elemi eseményekből álló halmazokat (azaz részhalmazait) eseményeknek nevezzük. Az egyes eseményeket betűkkel, míg az összes esemény halmazát -fel jelöljük.

1.1. Példa. (1) Dobjunk fel egy dobókockát. Ennek a kísérletnek 6 lehetséges kimenetele van, így az elemi események: . Az eseménytér . Jelentse azt az eseményt, hogy párosat dobtunk, azt, hogy 3-nál nagyobbat. Ekkor

(2) Húzzunk egy kártyát egy 32 lapos pakliból. Ekkor egy 32 elemű halmaz. Jelölje azt az eseményt, hogy pirosat húztunk, azt, hogy 7-est húztunk. Ekkor

(Itt a piros hetest szimbolizálja, )

(3) Dobjunk fel egy érmét kétszer egymás után. Itt , ahol jelöli, hogy az első dobás írás, a második fej,

(4) Dobjunk egy pontot véletlenszerűen a intervallumra. Ekkor . Jelölje , hogy a pont a -re esik, , hogy -re, , hogy -ra, . Ekkor

1.1.2. 1.1.2. Műveletek események között

Eseményekből a szokásos logikai műveletek segítségével alkothatunk új eseményeket. Mivel az események tulajdonképpen halmazok (elemi események halmazai), így a logikai műveletek és a megfelelő halmazelméleti műveletek közötti kapcsolat nyilvánvaló.

Az és esemény összegén azt az eseményt értjük, amely akkor következik be, ha vagy , vagy , vagy mindkettő bekövetkezik. Nyilván a halmazelméleti unió műveletét használva. Tetszőleges (véges vagy végtelen) sok esemény összege olyan esemény, mely akkor következik be, ha az összeadandók valamelyike bekövetkezik.

Az és esemény szorzatán azt az eseményt értjük, mely akkor következik be, ha mind , mind bekövetkezik. Nyilván . Tetszőleges sok esemény szorzata az az esemény, amely akkor következik be, ha a tényezők mindegyike bekövetkezik.

Az esemény ellentettjén azt az eseményt értjük, mely akkor következik be, ha nem következik be. nyilván -nak -ra vonatkozó komplementere.

Szokás még használni két esemény különbségét: akkor következik be, ha bekövetkezik, de nem. és szimmetrikus differenciája: akkor következik be, ha és közül pontosan egy következik be.

1.1. ábra - Műveletek és relációk események között

Műveletek és relációk események között

1.1. Feladat. (1) Igazoljuk, hogy a szorzás és az összeadás kommutatív, asszociatív és idempotens művelet. Igazoljuk a kétféle disztributív törvényt is! Bizonyítsuk be, hogy .

(2) Igazoljuk a de Morgan-féle azonosságokat:

Magyarázzuk ezt a két azonosságot események nyelvén! Írjuk fel és igazoljuk a de Morgan azonosságokat kettő helyett tetszőleges sok eseményre!

Két kitüntetett esemény van. A biztos esemény, amely mindig bekövetkezik; ez nyilván . A lehetetlen esemény, amely soha sem következik be; ez nyilván (az üres halmaz).

1.2. Feladat. Igazoljuk, hogy , , továbbá bármely eseményre.

1.1. Megjegyzés. Azt mondjuk, hogy és kizárja egymást, ha egyszerre nem következhetnek be. Ez pont azt jelenti, hogy és diszjunkt halmazok: . Ha bekövetkezéskor mindig bekövetkezik, akkor azt modjuk, hogy maga után vonja -t. Ez halmazok nyelvén pontosan azt jelenti, hogy .

A továbbiakban a és az ill. a és a műveleti jeleket egymás szinonimájaként fogjuk használni (ezek a szakirodalomban általában keverednek).

1.2. Példa. Az 1.1 példákban bevezetett eseményeket használjuk.

(1) , azaz háromnál nagyobb páros dobás.

(2) , azaz piros 7-est húzunk; pedig azt jelenti, hogy vagy pirosat, vagy 7-est húzunk.

(3) Ha jelöli azt, hogy elsőre írást, azt, hogy másodikra fejet dobunk, akkor .

(4) Az események egymást páronként kizárják és .

1.1.3. 1.1.3. A valószínűség fogalmának statisztikai jellegű megvilágítása

Dobjunk fel egy szabályos érmét egymás után sokszor, és jegyezzük fel a kapott fej-írás sorozatot. Például az sorozatot kaphatjuk. Ha dobásból fejet kapunk, akkor -t a fej dobások gyakoriságának, míg -et a fej dobások relatív gyakoriságának nevezzük. A fenti példában a relatív gyakoriságok sorozata: , , , , , , , , Az így kapott sorozat nem ,,szabályos” sorozat, a hagyományos matematikai értelemben (egyelőre) nem állíthatjuk róla, hogy konvergens. Csupán annyi látható, hogy ,,szabálytalan”, ,,véletlen ingadozásokat” mutató sorozat, és a kísérlet újabb végrehajtásakor egy másik ,,szabálytalan” sorozat jön ki. Csupán annyit remélhetünk, hogy valamilyen homályos értelemben 1/2 körül ingadozik (lévén az érme szabályos). A ténylegesen elvégzett kísérletek ezt igazolják is (pl. Buffon 4040 dobásból 2048-szor kapott fejet, míg Pearson 24000 dobásból 0,5005 relatív gyakoriságot kapott).

Figyeljük meg az alábbi, ténylegesen elvégzett (nem számítógépen szimulált) 100 hosszúságú dobássorozat lefolyását!

Sorszám

1

2

3

4

5

6

100

Dobás

F

I

F

I

I

F

F

Fej gyak.

1

1

2

2

2

3

51

Fej rel. gyak.

1

0.5

0.67

0.5

0.4

0.5

0.51

Ábrázoljuk a relatív gyakoriságok grafikonját! Az eredmény a 1.2. ábrán látható.

1.2. ábra - Fej-dobások relatív gyakorisága

Fej-dobások relatív gyakorisága

Megjegyezzük, hogy a fej-írás sorozatban hosszabb homogén blokkok (azaz tiszta F vagy tiszta I részek) fordulhatnak elő, mint azt a laikusok feltételezik.

A jelenségek egy részénél a relatív gyakoriság stabilitást mutat. Pontosabban fogalmazva, tekintsünk egy kísérletet, és ehhez kapcsolódva egy eseményt. Hajtsuk végre a kísérletet -szer egymástól függetlenül, azonos körülmények között. Jelölje az bekövetkezései számát. Ha a relatív gyakoriság nagy esetén egy fix szám körül ingadozik, akkor ezt az -ra jellemző számot -val jelöljük és valószínűségének nevezzük.

A napjainkban általánosan elfogadott (Kolmogorov-féle) elmélet a relatív gyakoriságokra vonatkozó fenti heurisztikus gondolatmenetből csupán a valószínűségre vonatkozó néhány egyszerű következményt tart meg, ezeket axiómaként tekinti, és erre épít fel egy konzekvens matematikai elméletet.

1.1.4. 1.1.4. A valószínűség axiómái

A relatív gyakoriság mindig nemnegatív, így

A biztos esemény mindig bekövetkezik: , így

Ha és egymást kizáró események, akkor . Ezért

alapján

ha és egymást kizáró események.

Az eseményeken értelmezett 1.1-1.3 tulajdonságokkal rendelkező függvényt nevezzük valószínűségnek. Tehát nem a valószínűség ,,fizikai mibenlétét” határozzuk meg, csupán a statisztikai szemléletmódból eredő néhány egyszerű tulajdonságot fogadunk el axiómaként.

Az eseményteret, az események halmazát és a valószínűséget együttesen valószínűségi mezőnek fogjuk nevezni. A pontos definíciót a 2. fejezetben fogjuk csak megadni.

1.1.5. 1.1.5. A valószínűség tulajdonságai

1.2. Tétel. Ha páronként kizáró események, akkor

Bizonyítás. Alkalmazzuk az 1.3 formulát.

Az ekvivalens 1.3 és 1.4 azonosságokat a valószínűség (végesen) additív tulajdonságának nevezzük.

1.3. Feladat. Legyen és két tetszőleges esemény. Az 1.1-1.3 axiómákból vezessük le az alábbiakat!

A feladatok megoldásához úgy is jó útmutatót kaphatunk, ha az eseményeket Venn-diagrammal szemléltetjük, a valószínűségüket a területükként fogjuk fel, miközben az egész területét 1-nek választjuk.

1.1.6. 1.1.6. Véges valószínűségi mezők

A fenti 1.1-1.3 axiómák elegendőek olyan véletlen kísérletek leírására, melyeknek csak véges sok kimenetelük van. Tegyük fel tehát, hogy a kísérlet kimenetelei (az elemi események) száma , azaz

Jelölje az elemi esemény valószínűségét: , . Mivel a valószínűség additív, így

Tehát a számok összege 1. Továbbá

Ezek alapján véges valószínűségi mezők a következőképp írhatók le. Ha az elemi események száma , akkor meg kell adni db nemnegatív, 1 összegű számot (az elemi események valószínűségeit): . Egy esemény valószínűségét pedig úgy számítjuk ki, hogy az -t alkotó elemi események valószínűségeit összeadjuk.

1.1.7. 1.1.7. A klasszikus valószínűségi mező

Egy szabályos érme, ill. kocka feldobásakor a lehetséges kimenetelek egyforma valószínűségűek. Számos olyan véletlen kísérlet van (pl. a szerencsejátékok esetén), ahol a lehetséges kimenetelek száma véges, és a kimenetelek egyforma esélyűek (pl. szimmetria okokból). Ekkor az elemi események valószínűségeire , és az 1.6 képlet alapján

Itt jelenti a lehetséges kimentelek számát (azaz az összes elemi esemény számát), míg az számára kedvező kimenetelek számát (vagyis az -ban levő elemi események számát).

Az 1.7 képlet a valószínűség klasszikus kiszámítási módja. Kezdetben ezt tekintették a valószínűség definíciójának. Bár 1.7 számos esetben alkalmazható, általános definícióként nem használható.

1.3. Példa. Az 1.1 és 1.2 példák folytatása.

(1) Egy szabályos kocka feldobásakor minden elemi esemény valószínűsége 1/6. A páros dobás valószínűsége .

(2) Egy kártya kihúzásának valószínűsége 1/32. A piros húzás valószínűsége .

(3) Két érme feldobásakor (vagy, ami ugyanaz, egy érme kétszeri feldobásakor) mind a 4 elemi esemény 1/4 valószínűségű. Felhívjuk a figyelmet, hogy az és az ,,egybemosása” hibához vezet. A kísérlet tényleges végrehajtása azt igazolja, hogy a kísérlet három egyenlően valószínű eseménnyel (nevezetesen ,,két fej”, ,,két írás” és ,,egy fej és egy írás”) való leírása ellentmond a tapasztalatoknak.

(4) Egy pont [0,1] intervallumra történő dobása nyilván nem írható le véges valószínűségi mezővel.

1.3. Megjegyzés. A valószínűség monotonitása:

Az ellentett esemény valószínűsége:

Gyakorlatok

  1. Keressünk egyszerű kifejezéseket az alábbi eseményekre:

  2. Legyenek , és tetszőleges események. Az események közötti műveletekkel fejezzük ki, hogy , és közül a) mindhárom bekövetkezik; b) legalább kettő bekövetkezik; c) legalább egy bekövetkezik; d) egy sem következik be; e) legfeljebb kettő következik be.

  3. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges eseményekre fennáll, hogy

    ahol és ezen utóbbi összegzés az számok -adrendű kombinációira terjed ki.

  4. Bizonyítsuk be az alábbi összefüggéseket, és szemléltessük őket Venn-diagram segítségével!

    1. Ha , akkor . (A valószínűség monotonitása.)

    2. . (Ezt leggyakrabban alakban használjuk.)

    3. .

  5. Hatszor feldobunk egy dobókockát. a) Mennyi a valószínűsége, hogy minden dobás páros? b) Mennyi a valószínűsége, hogy legalább egy 6-ost dobunk?

  6. Véletlenszerűen választva egy legfeljebb ötjegyű számot, mennyi a valószínűsége, hogy mind az öt jegy különböző? (A 0 is ,,értékes” jegynek számít a ,,rövidebb” számok elején.)

  7. golyót helyezünk el dobozba véletlenszerűen. Mennyi a valószínűsége, hogy minden dobozban lesz golyó?

  8. Mennyi a valószínűsége, hogy egy szabályos kockával 6-szor dobva, minden dobás eredménye más?

  9. Valakinek a zsebében kulcs van, amelyek közül egy nyitja a lakása ajtaját. A kulcsokat egymás után véletlenszerűen próbálja ki. Mennyi a valószínűsége, hogy a -dikra elővett kulcs nyitja az ajtót?

  10. Szabályos dobókockával dobálunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a negyedik hatost a tizedikre dobjuk?

  11. Mi a valószínűbb, 6 kockával legalább egy hatost dobni, vagy 12 kockával legalább két hatost dobni?

  12. Egy sakktáblára véletlenszerűen elhelyezünk 8 bástyát. Mennyi a valószínűsége, hogy a bástyák nem ütik egymást?

Ellenőrző kérdések

  1. Mit nevezünk eseménynek, elemi eseménynek, eseménytérnek?

  2. Milyen műveleteket értelmezünk események között?

  3. Mi a relatív gyakoriság?

  4. Mik a valószínűség axiómái?

  5. Mi a valószínűség klasszikus kiszámítási módja?