1.2. 1.2. Halmazalgebrák és -algebrák

Bonyolultabb szituációk vizsgálatakor az a meglepő helyzet állhat elő, hogy az elemi események nem minden halmaza tekinthető eseménynek. Célszerű tehát az eseményeket úgy kijelölni, hogy jól kezelhető struktúrákat alkossanak.

Az részhalmazainak rendszerét -algebrának nevezzük, ha és -ből nem vezet ki a komplementer képzés és a megszámlálható unió képzés.

1.4. Feladat. (1) Bizonyítsuk be, hogy összes részhalmazainak halmaza (azaz ) -algebra.

(2) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges sok -algebra metszete -algebra.

Legyen részhalmazainak egy rendszere. A -t tartalmazó összes -algebra metszete éppen a -t tartalmazó legszűkebb -algebra. Ezt a legszűkebb -algebrát nevezzük a által generált -algebrának és -vel jelöljük.

1.2.1. 1.2.1. A valószínűség -additivitása

Már viszonylag egyszerű feladatok megoldása során felmerül annak a kérdése, hogy hogyan lehet meghatározni (megszámlálhatóan) végtelen sok (páronként kizáró) esemény összegének a valószínűségét.

1.4. Példa. Dobjunk fel egy szabályos érmét egymás után annyiszor, míg fejet nem kapunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a kísérlet véges számú lépésben véget ér?

Jelölje a szóban forgó eseményt, ekkor , ahol jelöli azt, hogy az -edik dobás fej, viszont a megelőzőek mindegyike írás. A klasszikus képlet szerint , . Ha kihasználhatnánk azt, hogy a valószínűség megszámlálható sok diszjunkt esemény esetén is additív módon viselkedik, akkor

eredményt kapnánk. Ez pedig összhangban áll a tapasztalattal.

1.4. Definíció. Az hármast Kolmogorov-féle valószínűségi mezőnek nevezzük, ha egy nemüres halmaz (eseménytér), részhalmazainak egy -algebrája (az események halmaza), pedig egy halmazfüggvény (valószínűség) a következő tulajdonságokkal:

ha , és ha .

Az 1.10 tulajdonság a valószínűség -additivitása. Ez nem következik szemléletes tényekből, mint az additivitás. Azonban elfogadásával hatékony matematikai elmélet építhető fel, amely a jelenségek tág körét leírja. Napjainkban a Kolmogorov-féle axiómákon nyugvó valószínűségelmélet használatos a legszélesebb körben.

1.2.2. 1.2.2. A valószínűség folytonossága

Az 1.8-1.10 axiómákból következik, hogy

Ennek igazolására elegendő az 1.10 képletben , helyettesítést elvégezni.

Továbbá, ha eleget tesz az 1.8-1.10 axiómáknak, akkor végesen additív, azaz

ha , és , ha . 1.11 igazolásához elegendő 1.10-ban -t helyettesíteni.

Tehát az előző fejezetben a valószínűségre megadott tulajdonságok következnek az 1.8-1.10 Kolmogorov-féle axiómákból. Így az 1. fejezet megállapításai érvényesek Kolmogorov-féle valószínűségi mezőkben. Továbbá, ha véges, akkor a -additivitás nyilván ekvivalens az additivitással. Így az 1. fejezetben leírt véges valószínűségi mező speciális esete a Kolmogorov-féle valószínűségi mezőnek.

A -additivitás ekvivalens a véges additivitás és egy folytonossági feltétel teljesülésével:

1.5. Tétel. Legyen -algebra, teljesítse az 1.8 és 1.9 feltételeket. Ekkor 1.10 teljesülésének szükséges és elegendő feltétele 1.11 és az alábbi tulajdonság egyidejű teljesülése:

1.2.3. 1.2.3. Megszámlálható valószínűségi mezők

A megszámlálható számosságú valószínűségi mezők (azaz az olyan kísérletek, melyeknek megszámlálható sok kimenetele van) teljesen leírhatók az ún. diszkrét valószínűségeloszlások segítségével.

1.6. Definíció. A számsorozatot diszkrét valószínűségeloszlásnak (röviden eloszlásnak) nevezzük, ha

Ha egy diszkrét valószínűségeloszlás, akkor legyen egy tetszőleges megszámlálható halmaz, . A

képlet nyilván valószínűséget definiál, melyre , .

1.5. Példa. Legyen , , ahol konstans. Az ismert

összefüggés alapján látható, hogy eloszlást alkot. Ezt nevezzük Poisson-eloszlásnak.

1.2.4. 1.2.4. A valószínűség geometriai kiszámítási módja

A valószínűség tulajdonságai hasonlóak a hossz, a terület, ill. a térfogat tulajdonságaihoz.

1.6. Példa. Dobjunk egy pontot véletlenszerűen a intervallumra. A pont 0-tól mért távolságát jelölje . Mennyi a valószínűsége, hogy az , , hosszúságú szakaszokból háromszöget lehet szerkeszteni?

A háromszög szerkeszthetőségének feltétele: , , . Ezek a feltételek ekvivalensek az feltétellel. Vagyis a intervallum „fele” kedvező számunkra, így a kérdéses valószínűséget 1/2-nek tippeljük. Ennek előfeltétele szemléletes módon az, hogy tetszőlegesen rögzített esetén a intervallum bármely hosszúságú szakaszára a pont (a szakasz helyétől függetlenül) ugyanolyan valószínűséggel essen.

Legyen az egy részhalmaza, és dobjunk egy pontot véletlenszerűen -re. Legyen . Ekkor annak a valószínűsége, hogy a pont -ba esik

ahol a hossz, a terület, ill. a térfogat attól függően, hogy az egyenesen, a síkon, ill. a térben vagyunk (nyilván a esetre szorítkozunk). Az 1.13 képlet a valószínűség geometriai kiszámítási módja, mely nyilvánvaló analógiát mutat a klassszikus kiszámítási móddal.

Jelöljük -vel az félig nyílt (pontosabban alulról zárt, felülről nyílt) tégláinak, azaz a

, alakú halmazoknak az összességét.

A által generált -algebrát -vel jelöljük, és elemeit Borel-halmazoknak nevezzük.

A térfogatnak megfelelő mértéket kívánunk definiálni -n. Ha az 1.14 által definiált, akkor legyen

1.7. Tétel. Egyértelműen létezik Borel-halmazain egy olyan nemnegatív, -additív halmazfüggvény, melyre 1.15 teljesül. Ezt a -t -dimenziós Lebesgue-mértéknek nevezzük.

1.7. Példa. Dobjunk egy pontot véletlenszerűen egy -es négyzetre. Jelölje a pont távolságát a legközelebbi oldaltól. Határozzuk meg -t!

1.3. ábra - Az Az a szélességű sáv az 1.3. példában szélességű sáv az 1.3. példában

Az a szélességű sáv az 1.3. példában

Nyilván , ha , és , ha . Ha , akkor a ,,kedvező rész” egy ,, szélességű sáv” a négyzet ,,szélén” (1.3. ábra), aminek a területe . Ezért , .

Gyakorlatok

  1. Legyen -algebra. Bizonyítsuk be, hogy -ből nem vezet ki a megszámlálható metszet képzés!

  2. Határozzuk meg a Poisson-eloszlás maximális tagját! (Útmutató: vizsgáljuk két szomszédos tag nagyságviszonyát.)

  3. Bizonyítsuk be, hogy , diszkrét eloszlást alkot, ahol (ún. geometriai eloszlás). (A konvenciót használjuk.)

  4. Helyezzünk el golyókat véletlenszerűen dobozban. A kísérletet addig folytassuk, amíg nem kerül golyó az első dobozba. Mennyi a valószínűsége, hogy a kísérlet számú lépésben véget ér?

  5. Bizonyítsuk be, hogy a 1.5 Tételben szereplő 1.12 feltétel helyettesíthető a következő feltételek bármelyikével.

    ha .

    ha A 1.16 és 1.17 feltételeket is a valószínűség folytonosságának nevezik.

Ellenőrző kérdések

  1. Mit nevezünk -algebrának?

  2. Mi a Kolmogorov-féle valószínűségi mező?

  3. Mi a valószínűség geometriai kiszámítási módja?