1.3. 1.3. A feltételes valószínűség

1.3.1. 1.3.1. A feltételes valószínűség fogalma

Tegyük fel, hogy az esemény valószínűségére vagyunk kíváncsiak, de ismeretes számunkra, hogy a esemény bekövetkezett. A valószínűség bevezetésekor használt relatív gyakoriságos megközelítést alkalmazzuk most is. Ismételjük meg a kísérletünket -szer, de csak azokat a végrehajtásokat vegyük figyelembe, amelyekben bekövetkezett. Ezen részsorozatban az relatív gyakorisága

Ez utóbbi pedig körül ingadozik. Így ezt érdemes elfogadni a feltételes valószínűségnek.

1.8. Definíció. Legyen és esemény, . Ekkor az esemény -re vonatkozó feltételes valószínűségén a

mennyiséget értjük.

1.8. Példa. (a) A feltételes valószínűség végeredményben az egész eseménytér egy részére leszűkített valószínűség. Ez leginkább a részsokaságból történő mintavétellel szemléltethető. Tekintsünk egy 10000 fős populációt, ebben 5050 nő és 4950 férfi van. A nők között 100, a férfiak között 900 180 cm-nél magasabb található. Ha véletlenszerűen kiválasztunk egy embert a populációból, akkor annak a valószínűsége, hogy az 180 cm-nél magasabb (a klasszikus képlet alapján) . Ha a nők közül választunk ki egyet, akkor ugyanez a valószínűség . A feltételes valószínűség képletével számolva:

tehát a két felfogás azonos eredményre vezet. Klasszikus valószínűségi mező esetén a kétféle számolás mindig csak az ,,összes esetek számával” történő bővítésben (egyszerűsítésben) különbözik egymástól.

(b) Egy szelvénnyel lottózunk. A lottóhúzást figyeljük; az első négy kihúzott szám szerepel a szelvényünkön. Most következik az ötödik húzás. Mennyi a valószínűsége, hogy ötösünk lesz?

Jelölje azt az eseményt, hogy ötösünk lesz, azt, hogy az első 4 kihúzott számot eltaláltuk.

Ugyanerre az eredményre jutnánk akkor is, ha úgy okoskodnánk, hogy mivel négyet már eltaláltunk, a maradék 86-ból kell egyet eltalálnunk. Ez utóbbi esélye 1/86.

Általában is igaz, hogy a feltételes valószínűséget úgy is ki lehet számítani, hogy az eseményteret ,,leszűkítjük” a feltételben szereplő eseményre. Ennek hátterét világítja meg a következő állítás.

1.9. Tétel. Legyen valószínűségi mező, egy rögzített esemény, . Jelölje az alakú halmazokat, ahol . Legyen minden -re. Ekkor valószínűségi mező.

Az is nyilvánvaló, hogy éppen azon eseményekből áll, melyek részei. pedig az eredeti valószínűség ezekre való megszorításával majd ,,normálásával” adódik. Konkrét feladatok megoldásában éppen a valószínűség megtalálása a probléma.

1.9. Példa. Egy osztályban diák van, közülük -et kisorsolunk, akik dolgozatot írnak. Mennyi a valószínűsége, hogy a legrosszabb tanuló dolgozatot ír, feltéve, hogy a legjobb ír?

Jelölje azt az eseményt, hogy a legrosszabb ír, azt, hogy a legjobb ír. Ekkor

Közvetlen okoskodással is megoldhatjuk a feladatot. Szorítsuk meg a sorsolást arra, hogy a legjobbat már eleve kisorsoltuk. Így diákból kell kiválasztani -et, és kérdés annak a valószínűsége, hogy a legrosszabb tanuló benne lesz a kiválasztottak között. Így a klasszikus képlettel az

eredményre jutunk, ami megegyezik az előzővel.

1.3.2. 1.3.2. A teljes valószínűség tétele

A valószínűségi mező gyakran felbontható olyan részekre, amelyeket külön-külön már jól tudunk kezelni.

1.10. Definíció. Események egy sorozatát teljes eseményrendszernek nevezzük, ha egymást páronként kizárják és összegük az egész eseménytér.

Tehát egy teljes eseményrendszer nem más, mint egy diszjunkt eseményekre történő felbontása (1.4. ábra). Egy teljes eseményrendszerre nyilván .

1.4. ábra - Teljes eseményrendszer

Teljes eseményrendszer

Tágabb értelemben teljes eseményrendszernek szoktuk nevezni események olyan sorozatát is, amelyek egymást páronként kizárják és valószínűségeik összege 1.

1.11. Tétel. Legyen egy pozitív valószínűségű eseményekből álló teljes eseményrendszer. Ekkor bármely eseményre

Bizonyítás. Az diszjunkt részekre bontás fennáll. Így a összefüggés felhasználásával a valószínűség -additivitásából adódik az állítás.

A teljes valószínűség tételét úgy alkalmazzuk, hogy a valószínűségi mezőt részekre bontjuk úgy, hogy az egyes részeken belül a (feltételes) valószínűség egyszerűen kiszámítható, és ezen valószínűségeket a részek valószínűségeivel súlyozva összeadjuk. Az eljárás pont az, amit különböző koncentrációjú keverékek összeöntésével kapott keverék koncentrációjának kiszámítására használunk. Egy tipikus példa a következő.

1.10. Példa. Három gép gyárt csavarokat. Az első gép 1%, a második 2%, a harmadik 3% selejtet produkál. Az első gép az össztermék 50%-át, a második 30%-át, a harmadik 20%-át állítja elő. Az össztermékből véletlenszerűen választva egyet, mennyi a valószínűsége, hogy selejtes.

A teljes valószínűség tétele alapján a megoldás

1.11. Példa. Dobjunk fel egy kockát, és a dobás eredményétől függően más-más ,,hamis” érmét. Nevezetesen, ha a kockával -t dobunk, akkor olyan érmét dobunk fel, amelyen a fej dobás valószínűsége . Mennyi a valószínűsége, hogy az érmével fejet dobunk?

Megjegyezzük, hogy a teljes valószínűség tétele különösen alkalmas ,,kétfázisú” kísérletek leírására, miként ezt az 1.11. Példa is mutatja.

1.3.3. 1.3.3. Bayes tétele

Ha egy ,,kétfázisú” kísérletben a második fázis eredményeiből akarunk visszakövetkeztetni az első fázis eredményére, akkor a Bayes-tétel hasznos segédeszköz.

Legyen és két, pozitív valószínűségű esemény. A feltételes valószínűség definíciójából

Ez a Bayes-formula.

1.12. Tétel. Legyen egy esemény, teljes eseményrendszer, . Ekkor

minden -re.

Bizonyítás. Alkalmazzuk a Bayes-formulát, majd kifejtésére a teljes valószínűség tételét.

1.12. Példa. Az 1.10. Példában leírt kísérletet tekintjük. Ha egy találomra kiválasztott csavar selejtes, mennyi a valószínűsége, hogy az első gép gyártotta?

Gyakorlatok

  1. Tegyük fel, hogy db termék között db selejt van. Megvizsgálunk db terméket. Feltéve, hogy az első három vizsgált termék hibátlan, mennyi a valószínűsége, hogy az megvizsgált termékből selejt lesz? Oldjuk meg a feladatot a feltételes valószínűség definíciója alapján és ,,közvetlen” számolással is!

  2. Bizonyítsuk be, hogy

    ahol olyan események, melyekre .

  3. Legyen , . Lássuk be, hogy .

  4. Pistike anyukája elrejt egy csokit 3 doboz egyikébe. Pistike kiválaszt egy dobozt. Ezután az anyuka a maradék két doboz közül felnyit egyet, melyről tudja, hogy nincs benne csoki. Ezután megkérdezi Pistikét, hogy akarja-e az általa kiválasztott doboz helyett inkább a másikat (természetesen a nem felnyitottat). Érdemes-e Pistikének váltani?

  5. Ulti. 32 lapos kártyát 3 játékos között véletlenszerűen elosztunk, az első játékos 12 lapot, a másik kettő 10-10 lapot kap.

    1. Mennyi a valószínűsége, hogy a piros tízes és a piros hetes egy kézben lesz?

    2. Feltéve, hogy az első játékos kezében van az összes piros, kivéve a 10-est és a 7-est, valamint a zöld ász, király, felső és 10-es, mennyi a valószínűsége, hogy a piros 10-es és 7-es egy kézben van?

  6. Egy urnában db zöld és db sárga golyó van. Véletlenszerűen húzunk egyet a golyók közül. A golyót visszatesszük, és vele együtt számú ugyanolyan és számú ellentétes színű golyót teszünk az urnába. Mennyi a valószínűsége, hogy 4 húzásra a ,,zöld, zöld, zöld, sárga” sorozat adódjék?

  7. Az előző feldatot tekintsük esetén. Mennyi a valószínűsége, hogy húzásból valamely rögzített helyen zöld, a maradék helyen sárga golyó adódik.

  8. Egy 1000 fős városkában a választáson két párt indul. Kezdetben mindkét pártnak 500-500 szimpatizánsa van. Minden nap interjút készítek egy véletlenszerűen kiválasztott emberrel a városból. Minden meginterjúvolt 100 embert átcsábít a saját táborába. Mennyi a valószínűsége, hogy 5 nap múltán már csak az egyik pártnak lesznek hívei?

  9. A diffúzió Ehrenfest-féle modellje. Két tartályban összesen molekula helyezkedik el. Minden lépésben véletlenszerűen választunk egy molekulát, és azt áttesszük a másik tartályba. Legyen kiindulásul az első tartályban molekula, a másodikban . Milyen lesz a tartályok között a molekulák eloszlása 1, 2, illetve 3 lépés múlva?

  10. Dobjunk fel egy kockát. Azután dobjunk fel annyi kockát, amennyi az első dobás eredménye.

    1. Mennyi a valószínűsége, hogy a másodszorra feldobott kockák valamelyikén 6-ost kapunk?

    2. Mennyi a valószínűsége, hogy az első dobás 6-os volt feltéve, hogy a második dobás során nem kaptunk 6-ost?

Ellenőrző kérdések

  1. Mit nevezünk feltételes valószínűségnek?

  2. Mit állít a teljes valószínűség tétele?

  3. Mit állít a Bayes-tétel?