1.4. 1.4. Események függetlensége

1.4.1. 1.4.1. Két esemény függetlensége

A köznapi életben akkor mondjuk, hogy két jelenség független egymástól, ha egyik sem befolyásol(hat)ja a másikat. Események nyelvén ez azt jelenti, hogy az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja (nem is rontja, nem is javítja) a másik bekövetkezési esélyét. Mivel a esemény (!) bekövetkezésekor az bekövetkezésének esélyét a feltételes valószínűség jellemzi, így azt mondhatjuk, hogy az akkor független -től, ha

Ennek a definíciónak az a hátránya, hogy nem szimmetrikus -ban és -ben, valamint csak esetén értelmes. A definíció finomítása előtt azonban tekintsünk példákat.

1.13. Példa. Jelentse azt az eseményt, hogy egy szelvénnyel játszva, ötösünk lesz a lottón. Ekkor . Ha a lottóhúzást figyeljük és jelenti azt, hogy már négy számunkat kihúzták, és még egy szám húzása hátravan, akkor . Az ötös találat esélye nyilván nem független attól, hogy már legalább négyesünk van. A fenti számok is mutatják, hogy bekövetkezte jelentősen „megnövelte esélyét”.

Tekintsünk egy másik esetet.

1.14. Példa. Két kockát dobunk fel. Jelentse azt, hogy az elsőn, pedig azt, hogy a másodikon 6-ost dobunk. Ekkor

A tapasztalat is azt mutatja, hogy az egyik kockán kijövő szám nem befolyásolja azt, hogy a másikon mi adódik.

A fenti példák azt sugallják, hogy az 1.18 képlet jól ragadja meg a függetlenség szemléletes fogalmát. Szorozzuk most meg 1.18 mindkét oldalát -vel. Ekkor

adódik. Ha , akkor 1.19-t -val osztva

adódik.

Nyilván esetén 1.19 ekvivalens 1.18-cal, esetén 1.19 ekvivalens 1.20-szal, míg ha vagy , vagy , akkor 1.19 a triviális egyenlőségbe megy át, azaz mindig tejesül, semmilyen plusz feltételt nem jelent -ra és -re. Így 1.18, azaz független -től, vagy 1.20, azaz független -tól, definíciók helyett 1.19-et érdemes elfogadni.

1.13. Definíció. Azt mondjuk, hogy és független események, ha

1.5. Feladat. a) Bizonyítsuk be, hogy ha és független, akkor és , és , valamint és is független eseménypárok.

b) Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor független bármely eseménytől, ha vagy .

A függetlenség 1.19 definiáló egyenletéhez a feltételes valószínűség közbeiktatása nélkül, közvetlen heurisztikus úton is eljuthatunk. Legyen pl. , . és függetlenségén azt akarjuk érteni, hogy bekövetkezése nem befolyásolja bekövetkezésének az esélyét. Az esemény sok kísérletből az esetek kb. 30%-ban következik be. Ugyancsak 30%-ban kell tehát akkor is bekövetkeznie -nak, ha bekövetkezik (és persze akkor is, ha nem következik be, de ezt már ki sem kell használni). Viszont az összes esetekből kb. 60%-ban következik be és ezen belül kell bekövetkezési esélyének 30%-nak lennie. Így és együttes bekövetkezési esélye . Azaz kell legyen.

1.4.2. 1.4.2. Több esemény függetlensége

1.14. Definíció. Az eseményeket páronként függetlennek nevezzük, ha közülük bármely két esemény független:

A köznapi szóhasználatban több jelenség (teljes) függetlensége azonban azt jelenti, hogy a jelenségek bármely csoportja együttesen sem képes befolyásolni egyetlen másikat sem. Három eseményre megfogalmazva ez a következő. Legyenek események. Ezek páronkénti függetlensége azt jelenti, hogy

Az, hogy és együttesen sem befolyásolják -t, azt jelenti, hogy és független, ez pedig ami 1.21 figyelembe vételével

Látható, hogy és valamint és függetlensége is ehhez a relációhoz vezet.

1.6. Feladat. a) Bizonyítsuk be, hogy 1.22-ból nem következik 1.21.

b) Bizonyítsuk be, hogy 1.21-ből nem következik 1.22.

A fentiek azt mutatják, hogy több esemény (teljes) függetlenségéhez a felírandó relációkat nem spórolhatjuk meg.

1.15. Definíció. Azt mondjuk, hogy az események (teljesen) függetlenek, ha bármely -re és az számok bármely kombinációjára

Tehát esemény függetlensége azt jelenti, hogy közülük akárhány különböző eseményt kiválasztva azok szorzatának a valószínűsége egyenlő a valószínűségük szorzatával. Azt sem nehéz belátni, hogy ez a definíció - eredeti célunkkal összhangban - pontosan azt jelenti, hogy az események közül tetszőlegesen kiválasztva két diszjunkt csoportot, az egyik csoport együttesen sem befolyásolhatja a másik csoport esélyét.

1.16. Definíció. Események egy tetszőleges , rendszerét függetlennek nevezzük, ha annak bármely véges részrendszere független.

Legyen és két eseményrendszer. Ezeket függetlennek nevezzük, ha bármely és események függetlenek egymástól.

Legyen eseményrendszerek egy tetszőleges halmaza. Ezeket az eseményrendszereket függetlennek nevezzük, ha bármely eseményrendszer, ahol , független.

1.17. Tétel. (Borel-Cantelli-lemma) a) Ha , akkor 1 a valószínűsége annak, hogy az események közül csak véges sok következik be.

b) Legyenek az események függetlenek. Ha , akkor 1 annak a valószínűsége, hogy az események közül végtelen sok bekövetkezzék.

1.4.3. 1.4.3. A valószínűség geometriai kiszámítási módja és a függetlenség

1.15. Példa. Ketten megbeszélik, hogy du. 1 és 3 óra között adott helyen találkoznak, és fél órát várnak a másikra. Mennyi a valószínűsége, hogy a találkozó realizálódik? Jelölje , ill. a két érkezés időpontját. A feladat szövegében implicit módon benne van, hogy a két személy egymástól függetlenül érkezik, és érkezésük 1 és 3 között egyenletes. Ezért mindkét érkezést külön-külön a geometriai kiszámítási mód írja le:

A függetlenség miatt

1.5. ábra - A kedvező terület az 1.15. példában

A kedvező terület az 1.15. példában


Ez pedig éppen azt jelenti, hogy együttes viselkedésére is a geometriai kiszámítási mód alkalmazható, csak már a sík alkalmas tartományát kell alapul venni. (Valójában ezt csak téglalapokra igazoltuk, de a téglalapok valószínűsége meghatározza a Borel-halmazok valószínűségét.) Így példánkban az „összes terület” 4, a „kedvező terület” 7/4 (ábrázoljuk a kedvező érkezések tartományát!). Így a keresett valószínűség 7/16.

Az előző példa általánosítása kedvéért idézzük emlékezetünkbe, hogy az -dimenziós Lebesgue-mérték bevezetésekor egy -dimenziós tégla mértékét az oldalai mértékének szorzataként adtuk meg. Ez azzal analóg, ahogyan az események függetlenségét definiáltuk. Ennek alapján belátható, hogy ha a kísérleteket a valószínűség geometriai kiszámítási módjával írhatjuk le a tartományokon, akkor a kísérletek független végrehajtását szintén a valószínűség geometriai kiszámítási módjával írhatjuk le, de már -en.

1.16. Példa. Vegyünk három, egységnyi hosszúságú szakaszt. Mindegyikből vágjunk le találomra egy darabot. Mennyi a valószínűsége, hogy a megmaradó három szakaszból háromszög szerkeszthető?

1.6. ábra - A kedvező térfogat az 1.16. példában

A kedvező térfogat az 1.16. példában


A kísérlet az egységkocka segítségével írható le. Az „összes térfogat” 1 (az egész egységkocka térfogata). A feladat szempontjából kedvező pontok az egységkocka

feltételnek eleget tevő pontjai. Ábrát készítve azonnal láthatjuk, hogy az egységkockából három 1/6 térfogatú gúlát kell levágni. Így a „kedvező térfogat” 1/2, azaz a keresett valószínűség 1/2.

Gyakorlatok

  1. Dobjunk fel egy kockát kétszer egymás után! Milyen függetlenségi relációk állnak fenn az alábbi események között? {Az első dobás 1,2 vagy 3}, {Az első dobás 3,4 vagy 5}, {a két dobás összege 9}. Mi a helyzet az alábbi eseményeknél: {Az első dobás 4-nél kisebb}, {A második dobás 3-nál nagyobb}, {A két dobás összege 7}?

  2. Legyen egy független eseményrendszer. Bizonyítsuk be, hogy az -k közül tetszőleges sokat -re cserélve is független eseményrendszert kapunk!

  3. Három játékos és vesz részt egy sakkversenyen. Mindhárman egyforma erősek, azaz egy-egy partiban 1/2-1/2 eséllyel nyernek, illetve veszítenek. A versenyt és kezdi. Minden forduló után a vesztes átadja a helyét az addig pihenő játékosnak. A versenyt az nyeri meg, aki két egymás utáni partiban győz. Mennyi a valószínűsége, hogy , illetve nyeri meg a versenyt? Írjuk le az eseményteret!

  4. Tekintsünk egy kísérletet és benne egy pozitív valószínűségű eseményt. Ismételjük meg a kísérletet független módon végtelen sokszor. Bizonyítsuk be, hogy 0 annak a valószínűsége, hogy csak véges sokszor következik be!

  5. Adjunk példát két, egymástól független, de egymást kizáró eseményre!

  6. Az egér két lyukon tud bemenni a konyhába, onnan szintén két lyukon keresztül a kamrába. Mind a 4 lyuknál (egymástól függetlenül) valószínűséggel ül egy macska. Feltéve, hogy az egér nem jutott be a kamrába, mennyi a valószínűsége, hogy bejutott a konyhába?

  7. Az autók 10%-a fékhibás. Egy műszeres vizsgálat 90%-os eséllyel ad helyes eredményt. Minden autót kétszer vizsgálnak meg (egymástól függetlenül). Mennyi a valószínűsége, hogy egy autó fékhibás, feltéve, hogy

    1. mindkét vizsgálat hibásnak mutatta,

    2. pontosan az egyik vizsgálat mutatta hibásnak?

  8. Legyen egy rögzített pozitív egész. Jelölje az -hez relatív prím, -nél kisebb pozitív egészek számát. Jelölje azt az eseményt, hogy az számok közül találomra kiválasztott szám -vel osztható. Lássuk be a következőket!

    1. , ha (azaz osztója -nek).

    2. Ha az különböző törzstényezői, akkor független események.

    3. .

    4. . (Itt és az előző képletben a produktum összes különböző törzstényezőjére terjed ki.)

  9. Találomra választunk három pontot a intervallumban, legyenek ezek . Mennyi annak a valószínűsége, hogy az és élekkel bíró téglatest testátlója kisebb 1-nél?

  10. Egy egységnyi oldalú négyzet két átellenes oldalán találomra választunk egy-egy pontot. Mennyi a valószínűsége, hogy a két pont távolsága kisebb, mint ?

Ellenőrző kérdések

  1. Mikor mondunk két eseményt függetlennek?

  2. Mi a különbség a páronkénti függetlenség és a teljes függetlenség között?

  3. Mi a valószínűség geometriai kiszámítási módja az egyenesen, a síkon, illetve a térben?