2. fejezet - Diszkrét valószínűségi változók

2.1. 2.1. Véletlentől függő mennyiségek

2.1.1. 2.1.1. Mennyit nyerünk?

A valószínűség fogalma támaszt nyújt ahhoz, hogy elemezzük a nyerési esélyünket bizonyos szerencsejátékok esetén. De az sem mindegy, hogy mennyit nyerünk (vagy pláne nem, hogy mennyit vesztünk)!

2.1. Példa. Dobjunk fel két dobókockát, egy fehéret és egy feketét! Annyi forintot nyerünk, amennyi a fehéren és a feketén adódó számok különbsége. (Pl. a fehéren 2-est, a feketén 5-öst dobva a nyereség, azaz 3 forintot vesztünk.) Szabályos kocka esetén - szimmetria okokból - az adódik, hogy nyerésre és vesztésre is egyenlő az esély. De az is érdekelhet bennünket, hogy milyen eséllyel vesztünk, mondjuk, 5 forintot. Jelölje a nyereményt. Ekkor értéke lehet. A , valószínűségek a nyereményünk ,,eloszlását” adják. Az is látható, hogy , ahol a fehér, pedig a fekete kockán adódó számot jelöli.

2.1. Definíció. Legyen valószínűségi mező, (az elemi eseményektől függő valós értékű) függvény. -t diszkrét valószínűségi változónak nevezzük, ha értékkészlete megszámlálható és

2.1 azt fejezi ki, hogy azon elemi események halmaza, amelyben valamely konstans értéket vesz fel, legyen esemény. Ez szükséges ahhoz, hogy beszélhessünk a valószínűségéről (hisz csak eseményeknek értelmeztük a valószínűségét, és elemi események tetszőlges halmaza nem feltétlenül esemény).

2.1. Feladat. Igazoljuk, hogy ha értékkészlete , úgy akkor és csak akkor diszkrét valószínűségi változó, ha

2.1.2. 2.1.2. Valószínűségi változók eloszlása

A továbbiakban, a rövidség kedvéért, a

jelöléseket fogjuk használni.

Legyen olyan diszkrét valószínűségi változó, melynek értékkészlete . Jelölje a eseményt, . Ekkor az , , halmazok teljes eseményrendszert alkotnak. Ebből következik, hogy a

számok diszkrét eloszlást alkotnak (azaz , , és ).

2.2. Definíció. A számokat eloszlásának nevezzük.

2.2. Példa. Jelölje a dobókockán adódó számot. Ekkor eloszlása

A fenti , , eseményekből álló teljes eseményrendszert a által generált teljes eseményrendszernek nevezzük, és -vel jelöljük. Az -t tartalmazó legszűkebb -algebrát a által generált -algebrának nevezzük, és -vel jelöljük. elemei nyilván az alakban felírható események (azaz azon események, melyek az -k közül tetszőlegesen kiválasztottak uniójaként állnak elő).

Legyen tetszőleges valós függvény. Ekkor az összetett függvény is diszkrét valószínűségi változó, mivel

tehát 2.1 teljesül. Másrészt értékkészlete (viszont ebben a számsorozatban ismétlődések is felléphetnek, ha nem egy-egyértelmű). Például is diszkrét valószínűségi változók (ha az). Ha nemnegatív (azaz , ), akkor is diszkrét valószínűségi változó.

A valószínűségi változók közötti műveleteket ,,pontonként” értelmezzük. Például

Könnyű belátni, hogy , , , (ha ) diszkrét valószínűségi változók, amennyiben és is azok.

Általában, ha kétváltozós függvény, valamint és diszkrét valószínűségi változók, akkor az

által definiált függvény is diszkrét valószínűségi változó.

2.3. Példa. (1) Egy urnában piros és fehér golyó van (). Visszatevés nélkül húzzunk ki golyót ()! Jelölje a kihúzott piros golyók számát. Ekkor hipergeometrikus eloszlású:

(2) Ha az előző példában visszatevéses húzást tekintünk, akkor binomiális eloszlású valószínűségi változóhoz jutunk:

Általánosabban, ha egy kísérletet -szer függetlenül megismételünk, és jelenti a valószínűségű esemény bekövetkezéseinek a számát, akkor

A 2.2-t teljesítő -t -edrendű, paraméterű binomiális eloszlásúnak nevezzük. Ha , akkor -t Bernoulli-eloszlásúnak nevezzük.

(3) Azt mondjuk, hogy paraméterű Poisson-eloszlású, ha

ahol konstans.

(4) A valószínűségi változót -edrendű, paraméterű negatív binomiális eloszlásúnak nevezzük, ha

ahol . esetén a geometriai eloszláshoz jutunk.

Tekintsük a , , eloszlású valószínűségi változót. Legyen és a szerint definiálva. A függvény lokális maximumhelyét az eloszlás móduszának hívjuk. Amennyiben csak egy módusz van, akkor az eloszlást unimodálisnak (egycsúcsosnak) nevezzük. Ekkor a módusz éppen a legnagyobb -hez tartozó .

2.1.3. 2.1.3. Együttes eloszlások

Az alábbi (nyilvánvaló) példa két valószínűségi változó egymáshoz való viszonyának két szélsőséges esetét mutatja be.

2.4. Példa. Dobjunk fel két kockát! Jelölje és az első, illetve a második kockán kapott számot. A klasszikus képlettel számolva:

Azaz a és események függetlenek. Másrészt, ha is és is az első kockán dobott számot jelenti, akkor

Ebben az esetben nemhogy független -től, hanem meghatározza azt.

A példa arra is rámutat, hogy és külön-külön vett eloszlása nem határozza meg és együttes eloszlását.

2.3. Definíció. Legyen a és az diszkrét valószínűségi változók értékkészlete , illetve . Ekkor és együttes eloszlásán a

számokat értjük. Ebben a vonatkozásban a és külön-külön tekintett eloszlása marginális (más szóval perem-) eloszlásként jelenik meg, amint azt az ún. kontingencia táblázat mutatja:

Itt

és

Tehát a peremeloszlások a kontingencia táblázat peremén szereplő eloszlások. Nyilván

és az itt szereplő mennyiségek nemnegatívak.

2.4. Tétel. A és együttes eloszlása meghatározza a peremeloszlásokat, de a peremeloszlások nem határozzák meg egyértelműen az együttes eloszlást.

Bizonyítás. Lásd a 2.4 példát.

2.2. Feladat. Három valószínűségi változó együttes eloszlását a

szerint definiáljuk. Hogyan határozható meg a mennyiségekből és együttes eloszlása (jelölése ) és eloszlása ()? Terjesszük ki az együttes eloszlás fogalmát tetszőleges véges számú valószínűségi változóra!

2.1.4. 2.1.4. Függetlenség

Legyen és együttes eloszlása a 2.3-ban megadott. és függetlensége a következőt jelenti: az, hogy felvesz valamilyen értéket, nem befolyásolja annak az esélyét, hogy valamely értéket vegyen fel.

2.5. Definíció. Azt mondjuk, hogy és független, ha

A valószínűségi változókat páronként függetleneknek nevezzük, ha közülük bármely kettő független.

A valószínűségi változókat (teljesen) függetleneknek nevezzük, ha

teljesül minden -re a valószínűségi változók értékészletéből.

2.3. Feladat. Legyenek függetlenek. Lássuk be, hogy ekkor bármely részrendszere is független!

2.6. Definíció. Valószínűségi változók egy tetszőleges rendszerét függetlennek nevezünk, ha bármely véges részrendszere független.

2.7. Megjegyzés. A definícióból adódik, hogy valószínűségi változók tetszőleges családja akkor és csak akkor független, ha az általuk generált teljes eseményrendszerek családja független.

2.8. Tétel. Ha független diszkrét valószínűségi változók és valós függvények, akkor az valószínűségi változók is függetlenek.

2.1.5. 2.1.5. A konvolúció

Legyenek és független valószínűségi változók , , eloszlással. Ekkor a eloszlása

Ha és csak egész értékeket vehetnek fel, azaz , , ahol , akkor -ra

Ha és csak nemnegatív egész értékeket vehetnek fel, akkor

2.9. Definíció. A 2.5-2.6 által meghatározott mennyiségeket (azaz eloszlását) a és eloszlások konvolúciójának nevezzük.

2.5. Példa. Legyenek és független , illetve rendű és paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változók, azaz

Ekkor -ra

ahol . Így a konvolúció is binomiális eloszlású. Az utolsó lépésben az ismert

összefüggést (az ún. Vandermonde-konvolúciót) alkalmaztuk. Az összegzés minden esetben olyan -kre terjed ki, melyekre és .

Tekintsünk egy kísérletet, és ezzel összefüggésben egy valószínűségű eseményt. Ismételjük meg a kísérletet -szer, egymástól függetlenül. Jelölje annak indikátorát, hogy az esemény a -adik kísérletben bekövetkezik. Ekkor Bernoulli-eloszlású:

A valószínűségi változók függetlenek és egyforma Bernoulli-eloszlásúak. Ha jelenti az esemény bekövetkezései számát az ismétlésből, akkor . Mivel -edrendű paraméterű binomiális eloszású, így a következőt kaptuk.

2.10. Tétel. darab független, paraméterű Bernoulli-eloszlású valószínűségi változó összege -edrendű, paraméterű binomiális eloszlású.

Tekintsük megint a kísérlet független ismétléseit és a valószínűségű esemény bekövetkezéseit. Jelölje azt, hogy az hányadik ismétlés során következik be először, azt, hogy az első bekövetkezés után hányadik lépésben következik be újra , azt, hogy a második bekövetkezés után hányadik lépésben következik be újra , Nyilván független elsőrendű negatív binomiális eloszlású, pedig -edrendű negatív binomiális eloszlású. Ebből adódik:

2.11. Tétel. darab, azonos paraméterű, független, elsőrendű negatív binomiális eloszlású valószínűségi változó összege -edrendű, paraméterű negatív binomiális eloszlású.

Gyakorlatok

  1. Adjunk meg két olyan valószínűségi változót, amelyek különböznek egymástól, de eloszlásuk megegyezik! (Akkor mondjuk, hogy a és diszkrét valószínűségi változók eloszlása megegyezik, ha minden esetén.)

  2. Legyen adott egy eloszlás és az páronként különböző számok. Adjunk meg olyan valószínűségi változót, melyre !

  3. Igazoljuk, hogy egy és egy paraméterű Poisson-eloszlás konvolúciója () paraméterű Poisson-eloszlás!

  4. Mi a lottón kihúzott öt szám közül a legkisebbnek az eloszlása?

  5. Legyen geometriai eloszlású:

    Lássuk be, hogy örökifjú, azaz

  6. Legyen pozitív egész értékű valószínűségi változó. Vizsgáljuk meg, hogy a örökifjú tulajdonságából következik-e, hogy geometriai eloszlású.

  7. Egy gép valószínűséggel gyárt jó, valószínűséggel selejt terméket. Adjuk meg két egymás utáni selejt között gyártott jó termékek mennyiségének eloszlását! Adjuk meg a tiszta selejt szériák hosszának eloszlását is!

Ellenőrző kérdések

  1. Mit nevezünk diszkrét valószínűségi változónak?

  2. Mikor mondjuk, hogy hipergeometrikus-, binomiális-, illetve Poisson-eloszlású?

  3. Mikor mondjuk, hogy és függetlenek?