2.2. 2.2. Diszkrét valószínűségi változók várható értéke

2.2.1. 2.2.1. A várható nyeremény

A szerencsejátékokban a nyeremény pontos nagysága nyilván nem látható előre. A játékosok azonban legalább annyit szeretnének tudni, hogy számukra kedvező vagy kedvezőtlen-e a játék.

2.6. Példa. Dobókockával dobva annyit nyerünk, amilyen számot dobtunk. Ekkor a nyeremény átlagos értéke:

Ha azonban hamis kockával játszunk, például olyannal, amelynél a 6-os dobás esélye 1/4, az 1-es dobásé 1/12, a többié 1/6, akkor az átlagos nyeremény nyilván nagyobb lesz. Ekkor az

súlyozott számtani középpel érdemes a várható nyereményt jellemezni.

2.12. Definíció. Azt mondjuk, hogy a eloszlású valószínűségi változónak létezik véges várható értéke, ha a sor abszolút konvergens. Ekkor az

számot a várható értékének nevezzük.

2.13. Megjegyzés. (1) várható értéke a által felvett értékek súlyozott számtani közepe. A valószínűségi változó a várható értéke körül mutat véletlen ingadozást.

(2) A sor abszolút konvergenciája biztosítja, hogy a várható érték az -k sorszámozásától független véges szám.

2.4. Feladat. (1) Adjunk példát olyan valószínűségi változóra, amelyre a sor divergens, illetve értéke vagy ! (Ha értékkészlete véges, akkor ezek nyilván nem fordulhatnak elő.)

(2) Adjunk példát olyan valószínűségi változóra, mely a várható értékét nem veszi fel értékként sohasem!

2.7. Példa. A

Poisson-eloszlású valószínűségi változó várható értéke az alábbi módon számítható ki:

Itt az összefüggést alkalmaztuk.

2.14. Tétel. Legyen eloszlása . Legyen és . Ekkor

feltéve, hogy az egyenlőség valamelyik oldalát definiáló sor abszolút konvergens.

A következő tétel a várható érték és a valószínűségi változókon értelmezett műveletek kapcsolatát mutatja be.

2.15. Tétel. A várható érték lineáris funkcionál (a véges várható értékkel rendelkező valószínűségi változók terén). Részletesebben, ha és létezik és véges, konstans, akkor

is létezik és véges, és ;

is létezik és véges, és .

2.16. Következmény. Ha a valószínűségi változóknak létezik véges várható értékük, és konstansok, akkor

2.8. Példa. Legyen -edrendű paraméterű binomiális eloszlású. Ekkor a 2.10 Tétel alapján , ahol Bernoulli-eloszlású. minden -re. Ekkor

Az eredmény úgy interpretálható, hogy ha egy esemény átlagosan a végrehajtások -edrészében következik be, akkor végrehajtásból átlagosan -szer következik be.

Vizsgáljuk meg a várható értéket negatív binomiális eloszlású valószínűségi változók összegére is.

2.9. Példa. Legyen -edrendű paraméterű negatív binomiális eloszlású. Ekkor , ahol elsőrendű negatív binomiális eloszlásúak (2.11. Tétel):

(A számolás során azt használtuk ki, hogy konvergens hatványsor tagonként deriválható.) A fentiek alapján . Az eredmény úgy interpretálható, hogy ha egy esemény valószínűsége , akkor átlagosan -szer kell elvégezni a kísérletet ahhoz, hogy az esemény egyszer bekövetkezzék, továbbá -szer ahhoz, hogy -szer következzék be az esemény.

2.2.2. 2.2.2. A várható érték és a függetlenség

2.17. Tétel. Ha és független valószínűségi változók, és létezik és véges, akkor is létezik és véges, és

Bizonyítás. Ha létezik és véges, akkor

A függetlenség miatt

Viszont létezik és véges, hisz és végességéből következik a 2.7 alatti sor abszolút konvergenciája. Ez utóbbit lényegében az előző levezetés helyett -re történő elvégzésével láthatjuk be.

Gyakorlatok

  1. Egy szabályos érmével dobunk. Fej esetén 1 Ft-ot nyerünk, írás esetén 1 Ft-ot vesztünk. Ekkor a nyeremény várható értéke 0. Ezt a játékot nem igazán „érdemes” játszani. Adjunk példát olyan játékra, amelynél a nyeremény várható értéke 0, valamilyen szempontból mégis „érdemes” játszani, illetve olyanra, amelynek 0 a várható értéke, de egyáltalán nem „érdemes” játszani!

  2. Dobjunk fel egy kockát háromszor egymás után! Jelölje a dobott számok összegét. ?

  3. Bizonyítsuk be, hogy ha , akkor !

  4. Bizonyítsuk be, hogy ha és , akkor !

  5. Bizonyítsuk be, hogy ha és létezik és véges, akkor is létezik és véges!

  6. Bizonyítsuk be, hogy ha , akkor .

  7. Számítsuk ki a binomiális eloszlás várható értékét közvetlenül a várható érték definíciója alapján!

  8. A várható érték definíciója alapján közvetlen számolással igazoljuk, hogy a hipergeometrikus eloszlás várható értéke .

  9. Egy játékos a pénzfeldobásnál úgy játszik, hogy mindig a „fejre” fogad. Ha nem nyer, akkor duplázza a tétet, és az első nyerésnél abbahagyja a játékot. Mennyi a nyereményének várható értéke?

  10. Legyen Poisson-eloszlású. Határozzuk meg várható értékét!

  11. Tegyük fel, hogy . Bizonyítsuk be, hogy csak 0 vagy 1 értéket vehet fel!

Ellenőrző kérdések

  1. Mi a várható érték definíciója?

  2. Mit jelent az, hogy a várható érték lineáris funkcionál?

  3. Mikor igaz, hogy ?