2.3. 2.3. A szórás

2.3.1. 2.3.1. Az ingadozás mértéke

A várható érték önmagában nem tökéletes jellemzője az eloszlásnak.

2.10. Példa. Egy érme feldobásához kapcsolódva kétféle játékot tekintsünk. Mindkét esetben nyerünk, ha fejet dobunk, és vesztünk, ha írást, csak a tét különbözik: az első esetben 100 Ft, a második esetben 100000 Ft. Az első játékot , a másodikat írja le: . A nyeremény várható értékét tekintve a játékok nem különböznek egymástól: . A második játékot azonban csak a kockázatot kedvelők választanák, ott sokat lehet nyerni, de veszteni is. A két játék közötti különbség abban van, hogy a második esetben a nyeremény értékei nagy ingadozást mutatnak, azaz nagyon szóródnak a várható érték körül.

2.18. Definíció. Legyen valószínűségi változó, tegyük fel, hogy létezik és véges. A

mennyiséget (feltéve, hogy véges) szórásnégyzetének nevezzük. A szórásnégyzet pozitív négyzetgyökét pedig szórásnak hívjuk:

A szórás a ingadozásának mérőszáma. A szórás a valószínűségi változó értékeinek a várható értéktől való átlagos négyzetes eltérése. Technikai okokból a szórásnégyzettel gyakrabban dolgozunk, mint a szórással.

2.5. Feladat. (1) Adjunk példát olyan -re, amely esetén létezik, de !

(2) Mutassuk meg, hogy (azaz a szórást nem lehetne ilyen egyszerűen definiálni)!

2.19. Tétel. Ha , akkor

(ahol az rövid jelölése).

Bizonyítás.

A szórásnégyzetet az alábbi módon számolhatjuk ki.

2.20. Tétel. Ha , akkor

illetve

ahol a várható értéke, pedig a eloszlása: ,

Bizonyítás. Alkalmazzuk a 2.14 Tételt 2.8-ra, akkor kapjuk 2.10-et, illetve 2.9-re, akkor kapjuk 2.11-et.

Megjegyezzük, hogy az , ill. mennyiségeket -adik momentumnak, ill. -adik centrált momentumnak nevezik (). A kiszámítás

alapján történik.

A magasabb rendű momentum létezéséből és végességéből következik az alacsonyabb rendű létezése és végessége; fordítva azonban nem.

A várható érték az első momentum, a szórásnégyzet pedig a második centrált momentum.

2.11. Példa. (1) A 2.10 példában , .

(2) Legyen Poisson-eloszlású. Ekkor

Innen és a 2.4 példa alapján

2.3.2. 2.3.2. A szórás tulajdonságai

Az alábbiakban szereplő valószínűségi változókról feltesszük, hogy véges a szórásuk. Először az ún. Steiner-formulát adjuk meg.

2.21. Tétel. Tetszőleges valós számra

2.13-ban akkor és csak akkor áll fenn egyenlőség, ha .

A bizonyítást az olvasóra bízzuk. (2.12 a várható érték linearitásából, 2.13 pedig 2.12-ből adódik).

2.13 jelentése a következő: az ingadozásnak a szórásban is testet öltő mérőszáma, azaz ún. legkisebb négyzetes eltérés értelmében éppen a várható érték az a szám, amely leginkább középértékének tekinthető, tehát amelytől való ingadozás a legkisebb.

2.22. Tétel. ; akkor és csak akkor, ha .

Bizonyítás. Mivel és , így . Továbbá akkor és csak akkor 0, ha , azaz .

Az is nyilván igaz, hogy akkor és csak akkor áll fenn, ha 1 valószínűséggel konstans.

2.23. Tétel. Bármely esetén

Bizonyítás. miatt .

2.24. Tétel. Legyenek páronként független valószínűségi változók. Ekkor

Bizonyítás. Csak esetén végezzük el az állítás igazolását.

Azt használtuk ki, hogy független esetben .

2.12. Példa. a) Legyen Bernoulli-eloszlású: , . Ekkor

b) Legyen binomiális eloszlású:

Ekkor , ahol független Bernoulli-eloszlásúak. Így

2.25. Definíció. Legyen . A standardizáltján az

valószínűségi változót értjük. Ha a standardizáltja, akkor és .

2.3.3. 2.3.3. A Csebisev-egyenlőtlenség

A szórás segítségével felső korlátot adhatunk a várható értéktől való eltérés valószínűségére. Ez a Csebisev-egyenlőtlenség lényege. A Csebisev-egyenlőtlenség bizonyítását a Markov-egyelőtlenségre támaszkodva végezzük el.

2.26. Tétel. (Markov-egyenlőtlenség) Legyen nemnegatív valószínűségi változó, rögzített szám. Ekkor

Bizonyítás. A következő egyenlőtlenségek érvényesek:

2.27. Tétel. (Csebisev-egyenlőtlenség) Tegyük fel, hogy , és tetszőleges. Ekkor

Bizonyítás. Legyen , . Alkalmazzuk a Markov-egyenlőtlenséget!

Gyakorlatok

  1. Számítsuk ki a binomiális eloszlás szórását 2.11 segítségével közvetlenül (nem a Bernoulli-eloszlásra visszavezetve)!

  2. Igazoljuk, hogy a hipergeometrikus eloszlás szórásnégyzete

  3. Igazoljuk, hogy az elsőrendű negatív binomiális eloszlás szórásnégyzete . Az -edrendű negatív binomiális eloszlású -t független elsőrendűek összegeként előállítva, bizonyítsuk be, hogy .

  4. Egy szabályos kockával egymás után háromszor dobunk. Jelölje a hatos dobások számát. ,

  5. Igazoljuk, hogy a magasabb rendű momentum végességéből következik az alacsonyabb rendű végessége az alábbi értelemben. Ha és , akkor . (A bizonyításnál külön-külön vizsgáljuk a és a részeket.)

  6. Mennyi a várható értéke és szórásnégyzete a , eloszlású valószínűségi változónak?

Ellenőrző kérdések

  1. Mi a szórásnégyzet jelentése?

  2. Hogyan számoljuk ki a szórásnégyzetet?

  3. Mit állít a Csebisev-egyenlőtlenség?