2.4. 2.4. A korrelációs együttható

2.4.1. 2.4.1. A kovariancia

A szórás tulajdonképpen a és az távolsága, a kifejtése nyilvánvaló analógiát mutat az euklideszi távolsággal. A kovariancia pedig a belső szorzat megfelelője lesz.

2.28. Definíció. Legyen és valószínűségi változó, , , , . A és kovarianciáján a

mennyiséget értjük.

A definícióból közvetlenül adódik, hogy

A kovariancia kiszámítását segíti a

képlet, amely a várható érték linearitásából következik. Ha , jelöli és együttes eloszlását, akkor

illetve

azonnal adódik 2.14-ből, illetve 2.15-ből.

2.29. Tétel. Ha , , továbbá és függetlenek, akkor .

Bizonyítás. alapján 2.15-ből adódik az állítás.

Az állítás megfordítása nem igaz, amint az alábbi példa is mutatja.

2.13. Példa. Legyen és értékkészlete , együttes eloszlása

A kontingencia táblázat:

Ekkor

(ez a kontigencia táblázatból könnyen adódik). Így . Viszont

azaz és nem függetlenek.

2.30. Tétel. A kovariancia bilineáris funkcionál. Részletesebben: ha , , , , akkor

Bizonyítás. Elegendő belátni, hogy és . Ezek közül az első nyilvánvaló; a második:

2.4.2. 2.4.2. A korrelációs együttható

Két valószínűségi változó közötti kapcsolat szorosságát kifejezhetjük a korrelációs együtthatóval. A korrelációs együttható lényegében két vektor által bezárt szög koszinuszát jelenti.

2.31. Definíció. Legyen , . A és korrelációs együtthatóján a

mennyiséget értjük. Ha , akkor -t és -t korrelálatlanoknak nevezzük. Ha és függetlenek, akkor korrelálatlanok, de ez fordítva nem igaz.

2.32. Tétel. a) értéke mindig és közé esik.

b) akkor és csak akkor, ha valamely és valós számokra

teljesül 1 valószínűséggel. , illetve aszerint, hogy , illetve .

Bizonyítás. Legyen , illetve a és az standardizáltja. Ekkor . Másrészt

Innen adódik, hogy .

Másrészt akkor és csak akkor teljesül, ha 2.17-ben egyenlőség áll fenn -vel, azaz . Innen 1 valószínűséggel, azaz

Tehát 2.16 fennáll és választással. A eset hasonlóan kezelhető.

2.4.3. 2.4.3. Valószínűségi vektorváltozók

2.33. Definíció. Legyenek valószínűségi változók. Ekkor a -dimenziós vektort valószínűségi vektorváltozónak nevezzük. (Itt a transzponálás jele.) A

számokat a eloszlásának nevezzük (itt végigfut értékkészletén). eloszlása nem más, mint komponenseinek együttes eloszlása.

várható érték vektorát koordinátánként képezzük. A szórásmátrixa (kovariancia mátrixa) a elemekből álló -es mátrix. A , az vektorok és a mátrix struktúrája:

2.14. Példa. Legyen a valószínűségi változók együttes eloszlása polinomiális eloszlás:

, , , . Ekkor binomiális eloszlású paraméterrel, így és . Meghatározható és együttes eloszlása is. -re és -re felírva:

ahol és .

ahol a polinomiális tételt alkalmaztuk. Ezek alapján ,

ha . A negatív korreláció természetes, hiszen egyik komponens növelése a másik komponens csökkenését vonja maga után.

2.4.4. 2.4.4. A legkisebb négyzetes predikció

Közelítsük -t a valamely függvénye segítségével. Azt mondjuk, hogy az legjobb predikciója (becslése, jóslása) (a legkisebb négyzetek elve szerint) valamely függvényosztályra nézve, ha és

Ha a lineáris függvények osztálya, akkor legjobb lineáris predikcióról beszélünk.

2.34. Tétel. Legyen , . Ekkor legjobb lineáris predikciója a segítségével:

Bizonyítás. A cél a

függvény minimalizálása. A parciális deriváltak:

A fenti parciális deriváltak az

helyen 0-k, ami épp 2.18-nak felel meg. Mivel a második parciális deriváltakból álló mátrix

így -nek tényleg minimuma van.

A 2.32 Tétel alapján, ha , akkor a 2.18 közelítés pontosan -t adja.

Gyakorlatok

  1. Feldobunk két szabályos kockát. Jelölje az első kockával dobott számot, pedig a két dobott szám maximumát. Határozzuk meg és együttes eloszlását! Lássuk be, hogy ; és .

  2. Egy szabályos kockát -szer földobunk. Lássuk be, hogy az 1-es és a 6-os dobások kovarianciája .

  3. Tegyük fel, hogy a és valószínűségi változók mindegyike két értéket vesz föl. Bizonyítsuk be, hogy ha , akkor és független.

  4. Legyenek és független, Poisson-eloszlású valószínűségi változók , illetve paraméterrel. Lássuk be, hogy -nek -ra vonatkozó feltételes eloszlása binomiális, azaz

    ahol .

  5. Cauchy-féle egyenlőtlenség. Tegyük fel, hogy , . Ekkor

    Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha és lineárisan függőek.

  6. Legyen polinomiális eloszlású. Lássuk be, hogy

    kovariancia mátrixa , ahol az -es egységmátrix, -dimenziós egységvektor ( a transzponálás jele).

Ellenőrző kérdések

  1. Mi a kovariancia definíciója és kiszámítási módja?

  2. Mi a korrelációs együttható definíciója?

  3. A korrelálatlanságból következik-e a függetlenség?