2.5. 2.5. Nevezetes diszkrét eloszlások

2.5.1. 2.5.1. A hipergeometrikus eloszlás

Egy urnában piros és fehér golyó van (). Visszatevés nélkül húzzunk ki () golyót. Mennyi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyók között piros van? A kérdéses eseményt -val jelölve

adódik a klasszikus képlet alapján. Ezt nevezzük hipergeometrikus eloszlásnak. Ha hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó, akkor a várható értéke:

a szórásnégyzete:

A valószínűségek növekvőek, amíg meg nem haladja -t. Ha egész, akkor két maximumhely van: és .

2.1. ábra - A hipergeometrikus eloszlás A hipergeometrikus eloszlás N=20 , M=12 és n=6 esetén, A hipergeometrikus eloszlás N=20 , M=12 és n=6 esetén és A hipergeometrikus eloszlás N=20 , M=12 és n=6 esetén esetén

A hipergeometrikus eloszlás N=20 , M=12 és n=6 esetén

2.35. Tétel. Amennyiben úgy tart a végtelenhez, hogy közben (ahol ), akkor a hipergeometrikus eloszlás tart a binomiális eloszláshoz:

2.5.2. 2.5.2. A polihipergeometrikus eloszlás

Legyen egy urnában különböző színű golyó, az -edik színből , . Legyen . Jelölje azt az eseményt, hogy -szer húzva visszatevés nélkül, az első színből , az -edik színből adódik (). Ekkor

, .

Az ilyen eloszlást polihipergeometrikus eloszlásnak nevezzük.

2.5.3. 2.5.3. A binomiális eloszlás

Egy urnában piros és fehér golyó van (). Visszatevéssel húzunk ki golyót. (A visszatevéses húzás azt jelenti, hogy kihúzunk egy golyót, feljegyezzük a színét, visszatesszük, ezután még egyszer húzunk, feljegyezzük a színét, ) Mennyi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyók között piros van?

A kérdéses eseményt -val jelölve, a klasszikus képlet alapján

Ezt nevezzük binomiális eloszlásnak.

2.5.3.1. Véges Bernoulli-féle kísérletsorozat.

A binomiális eloszláshoz vezető kísérletet a következő módon általánosíthatjuk. Tekintsünk egy kísérletet és ebben egy eseményt. Ismételjük meg a kísérletet -szer, egymástól függetlenül. Jelölje azt az eseményt, hogy az végrehajtásból -szor következik be az esemény, pedig jelölje bekövetkezései számát.

A háttérben levő valószínűségi mezőt a következő módon lehet megkonstruálni. Mivel csak az és bekövetkezését figyeljük, így a kiinduló valószínűségi mező két elemi eseményre redukálható: , 1 jelöli az , 0 az bekövetkezését. . A kísérlet -szeri független végrehajtását az önmagával képzett -szeres szorzata írja le. Ez a valószínűségi mező a 0-ákból és 1-ekből álló hosszúságú sorozatokból áll. Ha egy sorozatban db 1-es és db 0 áll (pl. , azaz az első helyen 1, a maradék helyen 0), akkor . az összes olyan sorozatból áll, amelyben db 1-es és db 0 van. Egy ilyen sorozat valószínűsége (a 0-ák és 1-esek sorrendjétől függetlenül) . Összesen számú ilyen sorozat van. Így

Ez a binomiális eloszlás általános alakja.

2.2. ábra - p=0.25 , n=10 esetén a binomiális eloszlás, p=0.25 , n=10 esetén a binomiális eloszlás esetén a binomiális eloszlás

p=0.25 , n=10 esetén a binomiális eloszlás

2.6. Feladat. a) A szorzat valószínűségi mező fogalma nélkül, csupán a függetlenség fogalmára támaszkodva vezessük le a 2.21 összefüggést!

b) Vezessük le a 2.20 összefüggést a függetlenség felhasználása nélkül, csak arra támaszkodva, hogy mind az számú elemi esemény egyformán valószínű!

A valószínűségek növekvőek, amíg eléri azt az egészet, melyre

utána pedig csökkenőek. Ha egész, akkor két maximumhely van: és . esetén a valószínűségek a 2.2. ábrán láthatóak.

2.5.3.2. A Bernoulli-eloszlás.

A véges Bernoulli-féle kísérletsorozatban jelölje az -edik kísérletben az esemény bekövetkezései számát. Ekkor Bernoulli-eloszlású:

A kísérlet leírásából azonnal adódik, hogy a binomiális eloszlású előáll alakban, ahol független Bernoulli-eloszlásúak.

2.5.3.3. A binomiális eloszlás jellemzői.

A momentumok:

A szórásnégyzet:

2.5.4. 2.5.4. A binomiális eloszlás további tulajdonságai

Ha és független, binomiális eloszlású valószínűségi változók , illetve paraméterrel, akkor is binomiális eloszlású paraméterrel.

A binomiális eloszlás standardizáltja aszimptotikusan normális eloszlású:

Amennyiben úgy tart a végtelenhez, hogy közben úgy változik, hogy konstans marad, akkor viszont a határeloszlás Poisson:

Ha és független binomiális eloszlású valószínűségi változók , illetve paraméterrel, akkor feltételes eloszlása -re vonatkozóan hipergeometrikus:

2.5.5. 2.5.5. A polinomiális eloszlás

Tekintsünk egy kísérletet és ehhez kapcsolódva egy teljes eseményrendszert: . Legyen . Nyilván . Ismételjük meg a kísérletet -szer, egymástól függetlenül. Jelölje azt az eseményt, hogy az esemény -szer, , az -szer következik be. Ekkor

ahol , és .

2.15. Példa. A 2.21 képlethez vezető okoskodást általánosítva, igazoljuk a 2.22 formulát!

2.5.6. 2.5.6. A negatív binomiális eloszlás

Tekintsünk egy kísérletet, ebben egy valószínűségű eseményt. Ismételjük a kísérletet (független módon). Jelölje azt az eseményt, hogy a esemény -edszerre a -edik ismétlésnél fordul elő. Ekkor

A várható érték:

A szórásnégyzet:

Ha és független, paraméterű és , illetve rendű negatív binomiális eloszlasúak, akkor paraméterű, rendű negatív binomiális eloszlású.

2.7. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a negatív binomiális eloszláshoz vezető kísérlet esetén 1 valószínűséggel véges sok lépésben véget ér!

A negatív binomiális eloszlás esetén az ún. geometriai eloszlást szolgáltatja.

A geometriai eloszlás „örökifjú”:

azaz ha -nél „tovább él”, akkor a utáni élettartama ugyanolyan eloszlású, mintha a időpontban „született” volna. Ez a tulajdonság jellemzi is a geometriai eloszlást a pozitív egész értékű valószínűségi változók között.

2.5.7. 2.5.7. A Poisson-eloszlás

Legyen . A

által definiált eloszlást, ahol állandó, Poisson-eloszlásnak nevezzük. Nyilván , és a

képlet alapján . Így a fenti számok tényleg eloszlást alkotnak.

A valószínűségek növekvőek, amíg eléri -t (egészrész), utána csökkenőek (ha egész, akkor és esetén is maximum van).

2.3. ábra - \lambda=2 paraméterű Poisson-eloszlás paraméterű Poisson-eloszlás

\lambda=2 paraméterű Poisson-eloszlás

A várható érték:

a szórásnégyzet:

Ha és független Poisson-eloszlásúak , illetve paraméterrel, akkor is Poisson-eloszlású paraméterrel.

Legyen és független Poisson-eloszlású , illetve paraméterrel. Ekkor

azaz a feltételes eloszlás , paraméterű binomiális.

A Poisson-eloszlás gyakran fellép véletlen elhelyezkedési problémákban. Figyeljünk egy egyenlő részre osztott földterületet. számú fűmagot hoz a területre véletlenszerűen a szél. Mennyi a valószínűsége, hogy egy részre éppen mag esik? Ha feltételezzük, hogy a fűmagvak egymástól függetlenül érkeznek, és az területrész mindegyikére azonos valószínűséggel kerülnek, akkor binomiális eloszláshoz jutunk:

ahol . Viszont a binomiális eloszlás, bizonyos feltételekkel, jól közelíthető Poisson-eloszlással.

2.36. Tétel. Ha úgy, hogy konstans marad, akkor az paraméterű binomiális eloszlás tart a paraméterű Poisson-eloszláshoz.

Bizonyítás. Beírva a 2.24 képletbe -et:

mivel .

Gyakorlatok

  1. Bizonyítsuk be (valószínűségszámítási meggondolásokkal és más úton is), hogy a 2.19 képletbenben szereplő mennyiségekre , ahol az összegzés a számokra terjed ki.

  2. Egy urnában piros és fehér golyó van. Visszatevés nélkül húzunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a -edik húzásra jön ki először piros?

  3. Határozzuk meg a binomiális eloszlás maximális tagját!

  4. Egy tóban hal van, ezek közül -et kifogunk, megjelöljük majd visszadobjuk őket. Néhány nap múlva ismét kifogunk halat. Jelölje annak a valószínűségét, hogy ezek között megjelölt hal van. Rögzített esetén melyik -re lesz maximális? (Mivel ismeretlen, viszont a kísérlet elvégzése után ismertté válik számunkra, így az becslésére használható: az ún. maximum-likelihood becslése -nek.)

  5. Egy fiúból és lányból álló társaságot véletlenszerűen két egyenlő létszámú csoportra bontunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a csoportokon belül azonos lesz a fiúk és a lányok száma ?

  6. Négy dobókockát feldobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy két 1-es és egy 2-es adódik?

  7. Lássuk be az alábbi rekurzív összefüggéseket a hipergeometrikus eloszlásra:

    ahol a hipergeometrikus eloszlás -adik tagja (feltesszük, hogy , ).

  8. Lássuk be a következő rekurzív összefüggéseket a binomiális eloszlásra:

    ahol a binomiális eloszlás -adik tagja.

  9. Oldjuk meg az előző feladatot Poisson-eloszlás esetén is:

    ahol a Poisson-eloszlás -adik tagja.

  10. Ábrázoljuk (számítógépen) a hipergeometrikus, a binomiális és a Poisson-eloszlás oszlopdiagramját különböző paraméterek esetén! Használjuk az előző feladatok rekurzív képleteit!

  11. Ábrázoljuk közös koordinátarendszerben a paraméterű binomiális és az paraméterű hipergeometrikus eloszlást, ahol . Figyeljük meg a konvergenciát, ha .

  12. Ábrázoljuk közös koordinátarendszerben a paraméterű Poisson- és a paraméterű binomiális eloszlást, ahol . Figyeljük meg a konvergenciát, ha .

  13. Egy 10 méteres wolfram szálban átlagosan 5 hiba van. A szálat 6 cm-es darabokra vágjuk, melyekből izzó-spirált készítünk. Várhatóan hány hibátlan izzó-spirált kapunk?

Ellenőrző kérdések

  1. Melyik eloszlás írja le a visszatevés nélküli és melyik a visszatevéses mintavételt?

  2. Milyen feltételek esetén lesz a binomiális eloszlás határeloszlása a Poisson-eloszlás, és milyenek esetén a normális eloszlás?

  3. Mi a kapcsolat a Bernoulli- és a binomiális eloszlás között?