3. fejezet - Valószínűségi változók

3.1. 3.1. Valószínűségi változók, eloszlások, eloszlásfüggvények

3.1.1. 3.1.1. A valószínűségi változó fogalma

Olyan véletlen mennyiségekkel foglalkozunk, melyek nemcsak megszámlálható sok értéket vehetnek fel.

3.1. Példa. Dobjunk egy pontot véletlenszerűen az intervallumra (). Jelölje a pont helyét. Legyen , . -t szeretnénk meghatározni. A valószínűség geometriai kiszámítási módja alapján

ahol a Lebesgue-mérték (azaz az intervallum hossza).

A fenti példában szereplő ún. egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Természetes igényként merül fel, hogy minden véletlentől függő mennyiség esetén meg tudjuk mondani, hogy milyen valószínűséggel esik bele egy rögzített intervallumba. Az alábbi (3.1) feltétel ezt garantálja.

Legyen egy valószínűségi mező. A leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha bármely rögzített esetén

A fenti feltétel azt jelenti, hogy azon elemi események halmaza, melyekre , legyen esemény (azaz beszélhessünk a valószínűségről). Ezen egyszerű feltételből már adódik számos fontos tulajdonsága.

A továbbiakban tetszőleges és esetén jelöli a általi inverz képét:

azaz azon -k halmaza, melyeket -be visz. Más jelöléssel

Ezzel a jelöléssel 3.1 éppen a feltételt jelenti.

3.1. Definíció. Legyen most egy tetszőleges halmaz, és legyen részhalmazainak egy -algebrája. Jelölje Borel-halmazait. A leképezést mérhetőnek (pontosabban, -mérhetőnek) nevezzük, ha minden esetén. Speciálisan, egy függvényt Borel-mérhetőnek nevezünk, ha minden esetén, azaz Borel-halmaz inverz képe Borel-halmaz.

3.2. Tétel. Legyen valószínűségi mező. akkor és csak akkor valószínűségi változó, ha mérhető.

A következő tételt is használni fogjuk.

3.3. Tétel. Legyen valószínűségi változó, pedig Borel-mérhető valós függvény. Ekkor is valószínűségi változó.

Bizonyítás. Legyen Borel-halmaz. Ekkor

mivel Borel-halmaz, és valószínűségi változó.

Megjegyezzük, hogy a fentiek alapján -nek minden monoton, illetve folytonos függvénye (pl. , , , ) valószínűségi változó.

3.1.2. 3.1.2. Eloszlások

A gyakorlati feladatok zömében a véletlen jelenséget leíró valószínűségi mezőt nem tudjuk megfigyelni, csupán bizonyos vele kapcsolatos mennyiségeket vagyunk képesek mérni.

Például egy műtrágya hatásának vizsgálatakor a kezelt növények bizonyos jellemzőit (a termés mennyisége, annak néhány minőségi jellemzője, ) mérjük. Ami adódik, az a háttérben álló valószínűségi mező egy valószínűségi változó általi képe (a jelen esetben pl. a termés súlyeloszlása). Így gyakran nem az , nem is a , hanem csupán a általi „képe” érdekelhet bennünket.

3.4. Definíció. A valószínűségi változó eloszlásán a

halmazfüggvényt értjük.

3.5. Tétel. eloszlása valószínűség a számegyenes Borel-halmazain (azaz valószínűségi mező).

Bizonyítás. Nyilván , és . Legyenek most diszjunkt Borel-halmazok. Ekkor egymást kizáró események. Így

Tehát -additív is, azaz valószínűség.

3.2. Példa. Diszkrét valószínűségi változók eloszlását könnyen szemléltethetjük súlyokkal. Ha eloszlása , akkor helyezzünk el súlyt az pontba. Egy Borel-halmaz szerinti valószínűsége a benne levő súlyok összege: .

3.1.3. 3.1.3. Eloszlásfüggvények

Az eloszlások szemléltetésére és kezelésére az eloszlásfüggvények jelentik az egyik fontos - általánosan alkalmazható - eszközt.

3.6. Definíció. A valószínűségi változó eloszlásfüggvényének az

valós függvényt nevezzük.

Eloszlásfüggvénye minden valószínűségi változónak létezik.

3.3. Példa. A 3.1 Példában szereplő -re , ha , , ha , míg , ha . Ezt nevezzük az intervallumon egyenletes eloszlásnak.

Megjegyezzük, hogy egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének kiszámításakor először „rögzíteni kell az értéket”, és így kiszámítani a valószínűséget, ezután tekinthetjük -et „futó pontnak a számegyenesen”. Legtöbbször szakaszonként más-más képlettel adható meg.

3.4. Példa. Legyen a diszkrét valószínűségi változó eloszlása . Ekkor eloszlásfüggvénye

Azaz eloszlásfüggvénye olyan „lépcsőzetesen” növekvő függvény, mely -ben -t „ugrik”. Például a konstans valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: , ha , , ha .

3.1. ábra - A A p=1/2 , n=4 paraméterű binomiális eloszlás eloszlásfüggvénye, A p=1/2 , n=4 paraméterű binomiális eloszlás eloszlásfüggvénye paraméterű binomiális eloszlás eloszlásfüggvénye

A p=1/2 , n=4 paraméterű binomiális eloszlás eloszlásfüggvénye

3.1. Feladat. a) Ábrázoljuk az egyenletes és a Bernoulli-eloszlás eloszlásfüggvényét!

b) Ábrázoljuk a paraméterű binomiális eloszlás eloszlásfüggvényét! (3.1. ábra.)

c) Dobjunk egy pontot véletlenszerűen a intervallumra! Tegyük fel, hogy egy mágnes van a pontban, mely a ledobott pontot magához vonzza, ha az a -ra esik. Jelölje a ledobott pont végső helyét. Ábrázoljuk eloszlásfüggvényét! (3.2. (a) ábra.)

3.2. ábra - Eloszlásfüggvény és inverze

Eloszlásfüggvény és inverze

3.7. Tétel. Egy függvény akkor és csak akkor eloszlásfüggvénye valamely valószínűségi változónak, ha

a) monoton nemcsökkenő;

b) balról folytonos;

c)

Bizonyítás. Legyen a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye.

a) Legyen . Ekkor . Így a valószínűség monotonitása miatt .

b) Azt kell belátni, hogy , ha az -hez balról konvergáló sorozat. Legyen az -hez konvergáló, monoton nemcsökkenő sorozat. Ekkor , , olyan növekvő eseménysorozat, melynek uniója . A valószínűség folytonosságából . Speciálisan, . Legyen most az -hez balról konvergáló tetszőleges (nem monoton) sorozat. számot rögzítve, az előzőek alapján létezik úgy, hogy

Mivel , így létezik , amelyre , ha . Az monotonitása és 3.2 miatt

c) monoton növő sorozatra a valószínűség folytonosságából adódik. A nem monoton sorozat esete pedig - a b) részhez hasonlóan - visszavezethető a monoton esetre. ugyanígy bizonyítható.

A másik irány bizonyításához tegyük fel, hogy rendelkezik az a)-c) tulajdonságokkal. Legyen először speciálisan szigorúan monoton és folytonos függvény. Ekkor -nek létezik inverze, mely szintén szigorúan monoton és folytonos. Legyen most a intervallum a Borel-halmazokkal és a Lebesgue-mértékkel ellátva (másszóval -en a valószínűség geometriai kiszámítási módját alkalmazzuk). Legyen . Ekkor mérhető, így valószínűségi változó. eloszlásfüggvénye:

Legyen most tetszőleges a)-c) tulajdonságokkal rendelkező függvény. Definiáljuk „inverzét” az képlettel. (Például a 3.2 (a) ábrán lévő eloszlásfüggvńy ilyen „inverze” a 3.2 (b) ábrán látható.) A szigorúan monoton és folytonos -ek esetére az előzőekben alkalmazott gondolatmenet erre az esetre is átvihető.

3.5. Példa. teljesíti a)-c)-t, tehát eloszlásfüggvény. Ezt paraméterű Cauchy-eloszlásnak nevezzük.

3.8. Tétel. Legyen a eloszlásfüggvénye. Ekkor

a) ;

b) ;

c) .

Bizonyítás. a) .

b) . Így a valószínűség folytonosságából adódik az állítás.

c) az a) és b) következménye.

Megjegyezzük, hogy b) alapján akkor és csak akkor folytonos egy pontban, ha .

3.2. Feladat. Lássuk be, hogy

és

3.1.4. 3.1.4. Kvantilisek

Egy valószínűségi változó mediánjának azt a számot nevezzük, melynél nagyobb, illetve kisebb értékeket ugyanolyan valószínűséggel vesz fel.

A számot a valószínűségi változó mediánjának nevezzük, ha

3.9. Tétel. A medián mindig létezik.

Bizonyítás. Legyen a eloszlásfüggvénye. Legyen

Mivel balról folytonos, így . Másrészt, esetén . A valószínűség folytonossága miatt .

3.3. Feladat. Mutassuk meg, hogy az -n egyenletes eloszlás mediánja .

A következő problémák is igen tanulságosak:

3.4. Feladat. a) Lássuk be, hogy ha szigorúan monoton és folytonos eloszlásfüggvény, akkor a medián az egyenlet egyértelmű megoldása!

b) Adjunk példát olyan eloszlásfüggvényre, melyre a medián nem egyértelmű!

c) Lássuk be, hogy a mediánt nem lehetne az megoldásaként definiálni!

d) A medián definiálható a

feltételek egyidejű teljesülésével is.

3.10. Definíció. Legyen . A -kvantilisén azt a számot értjük, melyre

A 0.25-kvantilist alsó kvartilisnek a 0.75-kvantilist felső kvartilisnek nevezzük.

A Cauchy-eloszlás kvartilisei és mediánja a 3.3. ábrán láthatóak.

3.3. ábra - A Cauchy-eloszlás kvartilisei és mediánja

A Cauchy-eloszlás kvartilisei és mediánja

3.6. Példa. a) , ha , , ha (ahol rögzített) képlet által definiált függvény eloszlásfüggvény. Az ehhez tartozó eloszlást exponenciális eloszlásnak nevezzük.

b) Az exponenciális eloszlás -kvantilise: .

3.11. Definíció. -t szimmetrikusnak nevezzük, ha és eloszlása megegyezik.

3.12. Megjegyzés. A ( paraméterű) Cauchy-eloszlás, a -n egyenletes eloszlás szimmetrikus, míg az exponenciális eloszlás nem az.

3.5. Feladat. a) Lássuk be, hogy a szimmetrikus eloszlások mediánja .

b) Milyen alakú a szimmetrikus valószínűségi változók eloszlásfüggvénye?

Gyakorlatok

  1. Az alábbi függvények közül melyek eloszlásfüggvények? Ábrázolja is őket! (Az alábbiakban az adott intervallum „alatt”, és „felette”.)

    1. , ha ,

    2. , ha ,

    3. , ha és valós paraméter,

    4. , ha .

  2. Van-e olyan és eloszlásfüggvény, melyekre minden esetén? Van-e az egyenlőtlenséget teljesítő eloszlásfüggvény-páros?

  3. Adjunk példát két különböző valószínűségi változóra, melyeknek egyforma az eloszlásfüggvényük!

  4. Legyen paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Számítsuk ki eloszlásfüggvényét!

  5. Legyen egyenletes eloszlású a intervallumban. Határozzuk meg a következő valószínűségi változók eloszlásfüggvényét: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

  6. Legyen paraméterű exponenciális eloszlású. Lássuk be, hogy -en egyenletes eloszlású!

  7. Legyen eloszlásfüggvénye . Tegyük fel, hogy folytonos típusú, azaz egy intervallumon szigorúan monoton és folytonos, továbbá és . Lássuk be, hogy a -en egyenletes eloszlású! Milyen viszonyban van ez az állítás azzal, hogy és eloszlása megegyezik?

  8. Tegyük fel, hogy és egyenletes eloszlású -en. Számítsuk ki eloszlásfüggvényét! Milyen kapcsolatot látunk az előző feladattal?

  9. Alkatrészek élettartama a megfigyelések szerint közelítőleg exponenciális eloszlású. Tegyük fel, hogy egy izzó élettartama exponenciális eloszlású paraméterrel. Azonban idő után akkor is kicserélik, ha még nem égett ki. Számítsuk ki az ilyen módon „csonkított” élettartamú izzó élettartamának eloszlásfüggvényét!

  10. Legyen paraméterű exponenciális eloszlású. Határozzuk meg azt a legrövidebb intervallumot, melybe 1/2 valószínűséggel esik!

  11. Lássuk be, hogy , ha ; , ha ; , ha , által definiált függvény eloszlásfüggvény (ún. arkusz szinusz eloszlás).

Ellenőrző kérdések

  1. Hogyan definiáljuk az eloszlásfüggvényt?

  2. Igaz-e, hogy minden monoton növekvő függvény eloszlásfüggvény?