3.2. 3.2. Sűrűségfüggvények

3.2.1. 3.2.1. A sűrűségfüggvény fogalma

Az eloszlásoknak egyik jól kezelhető családját alkotják azok, amelyeknek létezik ún. sűrűségfüggvényük.

3.13. Definíció. Legyen eloszlásfüggvénye . Azt mondjuk, hogy eloszlása abszolút folytonos, ha létezik olyan Borel-mérhető függvény, melyre

teljesül. -et sűrűségfüggvényének nevezzük.

3.7. Példa. (1) Ha az -n egyenletes eloszlású, akkor sűrűségfüggvénye , ha , és , ha .

(2) Ha exponenciális eloszlású, akkor sűrűségfüggvénye , ha , és , ha .

(3) Ha (, paraméterű) Cauchy-eloszlású, akkor sűrűségfüggvénye , . (Igazoljuk, hogy a fenti függvények tényleg kielégítik 3.3-at a megfelelő eloszlásfüggvények esetén! Ábrázoljuk a fenti eloszlásfüggvény-sűrűségfüggvény párokat!)

3.4. ábra - A Cauchy-eloszlás sűrűségfüggvénye

A Cauchy-eloszlás sűrűségfüggvénye

Annak valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó beleesik egy intervallumba, a sűrűségfüggvénye alatti területnek az fölé eső részével egyenlő. A (, paraméterű) Cauchy-eloszlás esetén ezt a 3.4 ábra szemlélteti. A intervallumba esés valószínűsége a besatírozott rész területével egyenlő.

3.14. Tétel. Ha sűrűségfüggvénye , akkor

a számegyenes minden Borel-halmazára. Speciálisan, sűrűségfüggvénnyel rendelkező esetén bármely esetén.

Az következő tétel ennek következménye:

3.15. Tétel. Az abszolút folytonos eloszlások eloszlásfüggvénye folytonos. Egyetlen diszkrét eloszlásnak sincs sűrűségfüggvénye.

A diszkrét, illetve az abszolút folytonos eloszlások csupán szűk speciális családjai az összes eloszlás halmazának. Az alábbi ún. csonkított Cauchy-eloszlás sem nem diszkrét, sem nem abszolút folytonos. Legyen (, paraméterű) Cauchy-eloszlású. Legyen , ha ( rögzített); , ha ; és , ha . Ekkor eloszlása:

míg -ban eloszlását az sűrűségfüggvény írja le. (A fentiek alapján adjuk meg eloszlásfüggvényét!)

3.16. Tétel. akkor és csak akkor sűrűségfüggvénye valamely valószínűségi változónak, ha Borel-mérhető, nemnegatív (a Lebesgue-mérték szerint majdnem mindenütt) és

Bizonyítás. A tétel pontos bizonyítása a Lebesgue-integrál tulajdonságai alapján könnyen megadható. Az alábbiakban a Riemann-integrálra támaszkodó részleges bizonyítást közlünk.

Legyen (speciálisan) nemnegatív, Riemann-integrálható, továbbá . Ekkor az összefüggés által definiált függvény teljesíti az eloszlásfüggvények jellemző tulajdonságait. A balról folytonosság abból adódik, hogy az integrál mint a felső határ függvénye folytonos. A monoton nemcsökkenőség pedig az nemnegativitásából és az integrál intervallum szerinti additivitásából következik. Végül . Így a fenti -hez tartozó sűrűségfüggvény.

Megfordítva, legyen az -hez tartozó sűrűségfüggvény. Ekkor . Továbbá, . Tehát integrálja minden intervallumon nemnegatív. Ha most még azt is feltesszük (speciálisan), hogy folytonos, akkor a nemnegativitása azonnal adódik.

Megjegyezzük, hogy a gyakorlatban szakaszonként folytonos és mindenütt nemnegatív sűrűségfüggvények fordulnak elő.

3.8. Példa. Legyen , ha és egyébként. Ekkor egy pont kivételével folytonos, így Borel-mérhető. .

Így sűrűségfüggvény.

Az esetek többségében az eloszlásfüggvényt „szakaszonként differenciálva” kapjuk meg a sűrűségfüggvényt.

3.9. Példa. Dobjunk egy pontot véletlenszerűen az egységnégyzetre! Jelölje a pont távolságát a legközelebbi oldaltól. Ekkor eloszlásfüggvénye: , ha ; , ha ; , ha . A sűrűségfüggvény: , ha ; , ha .

3.2.2. 3.2.2. A normális eloszlás

A statisztikában alapvető szerepet játszik az ún. normális eloszlás.

A valószínűségi változót normális eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye

alakú, ahol tetszőleges, pedig pozitív valós szám. Azt, hogy és paraméterű normális eloszlású, azaz sűrűségfüggvénye a fenti, jelöli. Ha , akkor -t standard normális eloszlásúnak nevezzük.

A fenti függvény határozatlan integrálja (azaz a megfelelő eloszlásfüggvény) nem adható meg zárt alakban. Az, hogy tényleg sűrűségfüggvény, külön bizonyítást igényel, amit a következő fejezetben végzünk el.

az -re szimmetrikus, harang alakú görbe, mely növelésével egyre „laposabbá” válik. A standard normális eloszlás szimmetrikus. Így eloszlásfüggvényére .

3.17. Tétel. Ha standard normális eloszlású, , akkor eloszlása . Megfordítva, ha , akkor standard normális eloszlású.

Bizonyítás. Legyen . Ekkor -re (ha )

Így sűrűségfüggvénye

A megfordítás bizonyítása hasonlóan történik.

A fenti állítás alapján adódik, hogy normális eloszlású valószínűségi változó lineáris függvénye is normális eloszlású.

3.2.3. 3.2.3. Valószínűségi változók függvényei

3.10. Példa. Legyen . Ekkor az valószínűségi változót 1 szabadsági fokú khi-négyzet eloszlásúnak nevezzük (jele: ). eloszlásfüggvénye:

ha . Így sűrűségfüggvénye:

ha , egyébként .

Gyakorlatok

  1. Lássuk be, hogy , , sűrűségfüggvény! Ábrázoljuk a megfelelő eloszlásfüggvényt! Legyen a fenti sűrűségfüggvényű valószínűségi változó. Határozzuk meg az alábbi események valószínűségét: , , .

  2. Az alábbiak közül melyek sűrűségfüggvények? (Az alábbi tartományokon kívül a függvények mindenütt nullák.)

    1. , ,

    2. , ,

    3. , .

  3. Teljesítheti-e két sűrűségfüggvény az feltételt minden esetén?

  4. Legyen paraméterű exponenciális eloszlású. Legyen , ha és , ha . Számítsuk ki eloszlásfüggvényét! Mutassuk meg, hogy abszolút folytonos, és határozzuk meg a sűrűségfüggvényét!

  5. Legyen egyenletes eloszlású -en. Határozzuk meg eloszlás- és sűrűségfüggvényét!

  6. Legyen sűrűségfüggvénye . Lássuk be, hogy akkor és csak akkor teljesül, ha minden esetén (eltekintve egy nulla Lebesgue-mértékű halmaztól)!

  7. Legyen sűrűségfüggvénye . Lássuk be, hogy akkor és csak akkor szimmetrikus, ha szimmetrikus az tengelyre!

  8. Ábrázoljuk a normális eloszlás sűrűségfüggvényét! Határozzuk meg, hogy a görbének hol van maximuma, illetve inflexiós pontja!

  9. Legyen . Határozzuk meg, hogy milyen valószínűséggel esik az intervallumba esetén!

  10. Lássuk be, hogy a legrövidebb olyan intervallum, melybe adott valószínűséggel esik, -re szimmetrikus!

  11. Mutassuk meg, hogy az arkusz szinusz eloszlás sűrűségfüggvénye ().

  12. Az valószínűségi változót -paraméterű Cauchy-eloszlásúnak nevezzük, ha eloszlásfüggvénye

    ahol . Lássuk be, hogy ha paraméterű Cauchy-eloszlású, akkor (ahol ) -paraméterű Cauchy-eloszlású! Lássuk be, hogy sűrűségfüggvénye

Ellenőrző kérdések

  1. Mi a sűrűségfüggvény definíciója?

  2. Mik a sűrűségfüggvény jellemző tulajdonságai?

  3. Van-e sűrűségfüggvénye a binomiális eloszlásnak?