3.3. 3.3. A várható érték és a szórás

3.3.1. 3.3.1. A várható érték definíciója

A diszkrét eloszlások esetén a várható értéket az

képlettel határoztuk meg. Ezt a képletet abszolút folytonos eloszlásokra nem lehet közvetlenül átvinni, hiszen ott . A fenti képlettel analóg formulát akkor kapunk, ha -t „rövid” intervallumokon egyetlen értékkel, pl. az intervallum egyik végpontjával helyettesítjük:

A képletben a -nek olyan középértéke szerepel, amelyben minden részintervallum olyan súllyal kerül számı́tásba, amilyen valószínűséggel abba esik. A fenti középértékeket egyre „pontosabbnak” gondolhatjuk, ha a beosztás részintervallumainak hossza a 0-hoz tart. Így végeredményben a Lebesgue-, illetve a Lebesgue-Stieltjes-féle integrálhoz jutunk:

A várható értékére ténylegesen a 3.6 képletbeni integrálokat használják, azonban a Lebesgue-féle integrálelmélet apparátusa nélkül is lehet értelmezni az abszolút folytonos eloszlások várható értékét. A 3.5 képlet alapján ugyanis

3.18. Definíció. Legyen a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye . Ha véges, akkor azt mondjuk, hogy -nek létezik véges várható értéke. Ekkor az

által meghatározott mennyiség létezik és véges. Az számot várható értékének nevezzük.

Megjegyezzük, hogy esetén lehet, hogy (vagy ), de az is előfordulhat, hogy a várható értéket még ilyen tágabb értelemben sem tudnánk definiálni, hiszen -nek mind a pozitív, mind a negatív része lehet egyszerre . Így (ha mást nem mondunk), csak az esetet vizsgáljuk.

Be lehet bizonyítani, hogy a 3.7 képlet (miként 3.4 is) 3.6 speciális esete. Az általunk kimondott tételek az általános esetre fognak vonatkozni (hacsak mást nem állítunk), a bizonyításokat azonban legfeljebb a 3.7 képlettel kiszámítható várható értékre tudjuk elvégezni. A várható érték csak a eloszlásától (de nem magától -től) függ.

3.11. Példa. Legyen egyenletes eloszlású -n. Ekkor

Tehát várható értéke éppen az intervallum középpontja.

A Cauchy-eloszlásnak nem létezik várható értéke. Ezt mutatja be az alábbi példa.

3.12. Példa. Legyen , paraméterű Cauchy-eloszlású. Ekkor

Hasonlóan, . Így határozatlan kifejezés, azaz a Cauchy-eloszlásnak valóban nem létezik várható értéke.

3.3.2. 3.3.2. Momentumok

3.19. Tétel. Legyen a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye . Legyen Borel-mérhető. Ha , akkor

3.20. Definíció. Legyen . A valószínűségi változó -adik momentumának az mennyiséget nevezzük (amennyiben létezik).

A -adik momentum kiszámítása az előző állítás alapján

szerint történhet, ha sűrűségfüggvénye .

Megjegyezzük, hogy a magasabb rendű momentum végességéből következik az alacsonyabb rendű momentum végessége. Valóban, ha , és , akkor

Az első tag mindig véges (sőt, 1-nél nem nagyobb), a második tag pedig

3.13. Példa. (1) Az exponenciális eloszlás momentumai:

Mivel

így az előző rekurzív képlet alapján, . Speciálisan, .

(2) A standard normális eloszlás momentumai.

Páratlan -ra a fenti integrál értéke 0. Páros -ra (parciálisan integrálva):

Mivel , így , ha páros (itt , azaz szemifaktoriális).

3.3.3. 3.3.3. A várható érték tulajdonságai

3.21. Tétel. A várható érték lineáris funkcionál a véges várható értékkel rendelkező valószínűségi változók lineáris terén.

A tétel más szavakkal a következőképp fejezhető ki. Ha várható értéke véges, , akkor várható értéke is véges, és

továbbá, ha és várható értéke véges, akkor várható értéke is véges, és

3.8 a 3.19 Tételből követezik, hiszen várható értéke

A 3.9 képletet speciális esetekben később fogjuk belátni.

3.6. Feladat. 3.8 és 3.9 alapján lássuk be, hogy ha véges várható értékkel rendelkező valószínűségi változók és , akkor

3.22. Tétel. a) Ha , akkor .

b) Ha , akkor .

c) Ha és , akkor .

Bizonyítás. a) Ha , akkor , ha . Így

b) Az a)-ból közvetlenül adódik.

3.3.4. 3.3.4. A szórás

A szórás és a szórásnégyzet definíciója és tulajdonságai megegyeznek a diszkrét esetben adottakkal:

3.14. Példa. (1) Legyen egyenletes eloszlású -n. Ekkor

Ezért

Természetes, hogy a szórás az intervallum hosszától függ.

(2) Legyen exponenciális eloszlású. Ekkor

Könnyen látható, hogy minden szórással rendelkező esetén

3.15. Példa. Legyen . Ekkor reprezentálható alakban, ahol .

Innen

továbbá

Így a normális eloszlás paramétereinek jelentése: a várható érték, pedig a szórásnégyzet.

3.23. Tétel. Ha , akkor az valószínűségi változóra és . -t nevezzük standardizáltjának.

Bizonyítás. A várható érték linearitásából és 3.11 képletből adódik.

Gyakorlatok

  1. Számítsuk ki az sűrűségfüggvényű valószínűségi változó várható értékét és szórását!

  2. Számítsuk ki az sűrűségfüggvényű valószínűségi változó várható értékét és szórását!

  3. Adjunk példát olyan valószínűségi változóra, melynek a mediánja nem egyezik meg (illetve megegyezik) a várható értékével!

  4. Legyen eloszlásfüggvénye , ha , , ha és , ha . Számolja ki mediánját és várható értékét!

  5. Legyen , ha és egyébként. Lássuk be, hogy sűrűségfüggvény. Határozzuk meg a megfelelő eloszlásfüggvényt, mediánt, várható értéket és szórásnégyzetet!

Ellenőrző kérdések

  1. Mi a várható érték definíciója?

  2. Mi a szórásnégyzet definíciója?

  3. ?, ?