3.4. 3.4. Valószínűségi változók együttes eloszlása

3.4.1. 3.4.1. Együttes eloszlásfüggvények

és külön-külön vett eloszlása nem határozza meg és együttes viselkedését.

A és valószínűségi változók együttes eloszlásán a sík Borel-halmazaira értelmezett

halmazfüggvényt értjük.

Belátható, hogy valószínűség a sík Borel-halmazain. Az eloszlásnál könnyebben kezelhető az eloszlásfüggvény.

A és valószínűségi változók együttes eloszlásfüggvényén az

által definiált kétváltozós valós függvényt értjük.

Belátható, hogy az eloszlás és az eloszlásfüggvény egymást kölcsönösen meghatározzák.

3.24. Tétel. akkor és csak akkor együttes eloszlásfüggvénye valamely valószínűségi változó párnak, ha

a) mindkét változójában monoton nem csökkenő;

b) mindkét változójában balról folytonos;

c)

d) minden feltételt teljesítő számpárokra.

Bizonyítás. Legyen és együttes eloszlásfüggvénye. Az első három tulajdonság igazolása ugyanúgy történik, mint az egydimenziós esetben. Az pedig könnyen látható, hogy a d)-ben szereplő négytagú összeg éppen , ez pedig nemnegatív. Tehát d) éppen azt fejezi ki, hogy nemnegatív annak valószínűsége, hogy a pár beleessen egy téglalapba.

Teljesítse most az a)-d) tulajdonságokat. Belátható, hogy a téglalapokon a

által definiált függvény kiterjeszthető Borel-halmazaira valószínűséggé. Ezen valószínűséget véve alapul, a , által az -en definiált valószínűségi változó pár eloszlásfüggvénye éppen .

3.25. Megjegyzés. (1) a)-c)-ből nem következik d). Legyen ugyanis , ha , és , ha . Ekkor teljesíti a)-c)-t, de nem teljesíti d)-t (pl. , esetén).

(2) Legyen speciálisan . Ekkor és együttes eloszlásfüggvénye:

Így . Tehát, ha tetszőlegesen nagy értékeket felvehet (pl. exponenciális eloszlású), akkor . Ezért c) második felében mindkét változónak a -be kell tartania ahhoz, hogy 1-hez konvergáljon.

3.26. Tétel. Ha és együttes eloszlásfüggvénye , akkor eloszlásfüggvénye és eloszlásfüggvénye . -t és -t marginális (perem-) eloszlásfüggvényeinek nevezzük.

Bizonyítás. A valószínűség folytonossága miatt.

3.16. Példa. (1) Legyen , ha , és különben. Ekkor eloszlásfüggvény. Ennek belátásához alakítsuk -et szorzattá: , ha . Innen a)-d) azonnal látható. marginális eloszlásai exponenciális eloszlások. , ha , egyébként . Hasonlóan adódik, hogy pedig paraméterű exponenciális eloszlásfüggvény. Nyilván , . (Később látni fogjuk, hogy ez a független és együttes eloszlásfüggvénye.)

Az függvény , esetén a 3.5. ábrán látható.

3.5. ábra - Kétdimenziós exponenciális eloszlásfüggvény

Kétdimenziós exponenciális eloszlásfüggvény

(2) Legyen , ha , egyébként. Ekkor - a 3.25 Megjegyzés (2) része értelmében - a marginális eloszlások paraméterű exponenciálisak. Ezt a példát összevetve az előző példa speciális esetével látjuk, hogy különböző kétváltozós eloszlásfüggvényeknek lehetnek azonos marginálisaik.

3.4.2. 3.4.2. Együttes sűrűségfüggvények

3.27. Definíció. A és együttes eloszlását abszolút folytonosnak nevezzük, ha létezik olyan függvény, melyre és együttes eloszlásfüggvénye

alakba írható. -et és együttes sűrűségfüggvényének nevezzük.

3.28. Megjegyzés. (1) Együttes sűrűségfüggvény nem mindig létezik.

(2) Ha a pár együttes sűrűségfüggvénye, akkor

bármely Borel-halmazára.

3.29. Tétel. akkor és csak akkor együttes sűrűségfüggvénye valamely valószínűségi változó párnak, ha

a) mérhető,

b) nemnegatív és

c)

A következő tétel segít a marginális sűrűségfüggvények kiszámításában.

3.30. Tétel. Legyen és együttes sűrűségfüggvénye . Ekkor és is abszolút folytonos, és , valamint sűrűségfüggvénye (az ún. marginális sűrűségfüggvények) az

képletekből határozhatók meg.

Bizonyítás. A következő átalakításokat végezzük:

ahol eloszlásfüggvényét jelöli. Így kielégíti a sűrűségfüggvény definícióját.

3.31. Megjegyzés. Abból, hogy és abszolút folytonos, nem következik, hogy és együttes eloszlása is abszolút folytonos (ez a független esetben teljesül, mint később látjuk). Például, legyen abszolút folytonos, legyen ; ekkor a párnak nincs együttes sűrűségfüggvénye.

3.17. Példa. Legyen véges Lebesgue-mértékű Borel-halmaz (azaz területe véges). Ekkor , ha , egyébként (ahol a területet jelöli) függvény sűrűségfüggvény. Az ilyen sűrűségfüggvényű eloszlást -n egyenletes eloszlásnak nevezzük.

A következő példában a kétdimenziós normális eloszlást mutatjuk be.

3.18. Példa. Legyenek és adott számok, melyekre és . Ekkor az

, sűrűségfüggvényű eloszlást (nem elfajult) kétdimenziós normális eloszlásnak nevezzük. Ahhoz, hogy 3.12 ténylegesen sűrűségfüggvényt határoz meg, be kell látni, hogy .

(Az első lépésben az exponensben teljes négyzetté alakítottunk, a második lépésben pedig kihasználtuk, hogy - alkalmas paraméterű - normális sűrűségfüggvény integrálja 1.) Azt kaptuk, hogy éppen sűrűségfüggvénye. Ezen sűrűségfüggvény szerinti integrálja 1, így .

Melléktermékként azt is kaptuk, hogy a kétdimenziós normális eloszlás marginálisai is normálisak:

ahol és .

Figyeljük meg, hogy a

mátrixok egymás inverzei, ahol . -t és kovarianciájának, a mátrixot pedig a szórásmátrixuknak fogjuk nevezni. Ezek alapján látható, hogy a 3.12 sűrűségfüggvényben az exponensben éppen a szórásmátrix inverzével képezett kvadratikus forma áll, míg a konstans szorzó éppen az inverz determinánsának négyzetgyöke.

3.4.3. 3.4.3. A függetlenség

3.32. Definíció. Azt mondjuk, hogy és független valószínűségi változók, ha együttes eloszlásfüggvényük felbomlik a két marginális eloszlásfüggvény szorzatára:

Be lehet látni, hogy ez a feltétel ekvivalens a következővel:

bármely és Borel-halmazra. 3.13 már ténylegesen azt mutatja, hogy a -vel kapcsolatos események függetlenek az -val kapcsolatos eseményektől.

3.7. Feladat. Lássuk be 3.13 alábbi speciális esetét! és akkor és csak akkor függetlenek, ha

ha , .

3.33. Megjegyzés. Ha adott az és eloszlásfüggvény, akkor , , teljesíti a kétdimenziós eloszlásfüggvények jellemző tulajdonságait. Ennek marginálisai éppen és . Így mindig van értelme a következő megfogalmazásnak: „legyenek és független valószínűségi változók és eloszlásfüggvénnyel”.

3.19. Példa. A 3.16 Példa (1) részében szereplő és független (exponenciális eloszlású) valószínűségi változók.

3.34. Tétel. Legyen együttes eloszlása abszolút folytonos. Ekkor és akkor és csak akkor függetlenek, ha együttes sűrűségfüggvényük a marginális sűrűségfüggvények szorzata:

Bizonyítás. (1) Ha 3.14 teljesül, akkor az együttes eloszlásfüggvény

. Tehát és tényleg függetlenek.

(2) Legyen most és független. Tekintsük a , , függvényt. Ez kielégíti a sűrűségfüggvények tulajdonságait. Ennek marginálisai éppen és . Az előző rész értelmében marginálisai függetlenek. A függetlenség definíciója szerint a független esetben a marginálisok egyértelműen meghatározzák az együttes eloszlást. Így a sűrűségfüggvényhez tartozó eloszlás nem lehet más, mint és együttes eloszlása.

3.20. Példa. (1) Lássuk be, hogy ha és abszolút folytonosak és függetlenek, akkor együttes eloszlása is abszolút folytonos! Ennek igazolása lényegében az előző állítás bizonyításának második részével azonos.

(2) Ha a pár egyenletes eloszlású a téglalapon, akkor marginálisai egyenletes eloszlásúak az , illetve intervallumon, és függetlenek.

(3) Ha együttes eloszlása kétdimenziós normális, és kovarianciájuk (azaz a 3.12 képletben), akkor a marginálisok független normális eloszlások.

3.4.4. 3.4.4. A kovariancia

A kovariancia és a korrelációs együttható definíciója és tulajdonságai megegyeznek a diszkrét esetben adottakkal. Így részletezni csak a kiszámítási módjukat fogjuk. Először is megjegyezzük, hogy ha mérhető függvény, akkor valószínűségi változó. Ha a pár együttes sűrűségfüggvénye , akkor

feltéve, hogy a fenti egyenlőség egyik oldalán szereplő mennyiség létezik.

Ezért

kiszámítása a

illetve a

összefüggés és az

képlet alapján történhet.

3.35. Megjegyzés. Ha és függetlenek és véges a várható értékük, akkor

Ez abban az esetben, ha létezik együttes sűrűségfüggvény, az

egyenlőség alapján látható be.

3.21. Példa. Legyen és együttes eloszlása normális, 3.12 alatti sűrűségfüggvénnyel. Ugyanúgy eljárva, mint a 3.18 Példában

A belső integrál az eloszlás várható értéke, így az alábbival egyenlő

ahol

Így

Tehát

Ezzel igazoltuk a korábban már jelzett tényt.

Gyakorlatok

  1. Válasszunk egymástól függetlenül két pontot (-t és -t) az egységintervallumban! Lássuk be, hogy a szorzatuk sűrűségfüggvénye , ha és 0 egyébként!

  2. Legyen egyenletes eloszlású az körgyűrűben. Határozzuk meg sűrűségfüggvényét!

  3. Legyenek és azonos eloszlású, független valószínűségi változók eloszlásfüggvénnyel és folytonos sűrűségfüggvénnyel. Lássuk be, hogy sűrűségfüggvénye .

  4. Határozzuk meg sűrűségfüggvényét, ha együttes sűrűségfüggvénye .

  5. Lássuk be, hogy diszkrét valószínűségi változókra a függetlenség és definíciói egybeesnek!

  6. Lássuk be, hogy (ha és véges) abban az esetben, ha létezik -nek és -nak együttes sűrűségfüggvénye!

  7. Dobjunk egy pontot véletlenszerűen egyenletes eloszlás szerint a (0,0), (0,1), (1,0) csúcsokkal rendelkező háromszögre. Jelölje a pont helyzetét. Független-e és ?

Ellenőrző kérdések

  1. A perem eloszlásfüggvények meghatározzák-e az együttes eloszlásfüggvényt?

  2. Mit nevezünk együttes sűrűségfüggvénynek?

  3. Mikor mondjuk, hogy két valószínűségi változó független?