3.5. 3.5. Valószínűségi vektorváltozók

3.5.1. 3.5.1. Többdimenziós eloszlások

Ebben a részben csupán felsoroljuk a valószínűségi vektorváltozók legfontosabb tulajdonságait (bizonyítás helyett az egy-, illetve kétdimenziós esettel való analógiára utalunk), és példákat adunk.

Legyenek valószínűségi változók. Ekkor a vektort valószínűségi vektorváltozónak nevezzük ( a transzponáltat jelöli). A valószínűségi vektorváltozó koordinátáit mindig oszlopvektorba rendezve képzeljük el.

3.36. Definíció. A valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvényén az

-változós, valós értékű függvényt értjük.

3.37. Tétel. akkor és csak akkor eloszlásfüggvénye valamely valószínűségi vektorváltozónak, ha

a) minden változójában monoton nemcsökkenő;

b) minden változójában balról folytonos;

c) , ; ;

d)

minden esetén, ahol , és az összegzés a 0 és 1 számokból álló összes lehetséges sorozatra terjed ki. (Tehát az 3.15 bal oldalán szereplő összeg számú tagból áll.)

3.8. Feladat. (1) Lássuk be, hogy az 3.15-ben szereplő összeg éppen !

(2) Lássuk be, hogy a marginális eloszlásfüggvények az

képlettel számolhatók ki (ahol kivételével minden a -hez tart) !

A valószínűségi vektorváltozó eloszlását abszolút folytonosnak nevezzük, ha létezik , melyre

. -et sűrűségfüggvényének nevezzük.

Ha a sűrűségfüggvénye, akkor

bármely Borel-halmazra.

3.9. Feladat. Fogalmazzuk meg annak szükséges és elégséges feltételét, hogy sűrűségfüggvény legyen. (Az analógia teljes az egy-, illetve kétdimenziós esettel.)

Belátható, hogy a marginális sűrűségfüggvények az

képlettel nyerhetők (ahol az integrálás nem terjed ki a -adik változóra).

A következő példa ismét az egyváltozós eset analógiája.

3.10. Feladat. Adjuk meg az egyenletes eloszlás definícióját valószínűségi vektorváltozóra!

A valószínűségi vektorváltozó komponenseit (teljesen) függetleneknek nevezzük, ha

. Abszolút folytonos eloszlás esetén a függetlenség ekvivalens

teljesülésével.

3.5.2. 3.5.2. A várható érték vektor és a szórásmátrix

Ha egy valószínűségi változókból álló mátrix, akkor várható értéke a komponensei várható értékeiből álló mátrix (ha létezik a komponensek várható értéke):

Így a valószínűségi vektorváltozó várható érték vektora

szórásmátrixán (variancia mátrixán) az alábbi -es mátrixot értjük:

Mivel a mátrix -edik eleme , így -edik eleme :

Részletesebben

A szórásmártix főátlójában a szórásnégyzetei állnak.

A többváltozós várható érték és szórás legalapvetőbb tulajdonságait a következő példa mutatja.

3.11. Feladat. (1) Legyen és (alkalmas méretű) konstans mátrix, ill. vektor. Igazoljuk, hogy

és

(2) Lássuk be, hogy minden szórásmátrix szimmetrikus, pozitív szemidefinit!

3.5.3. 3.5.3. A többdimenziós normális eloszlás

3.38. Definíció. Legyenek független standard normális eloszlású valószínűségi változók. Ekkor a valószínűségi vektorváltozót n-dimenziós standard normális eloszlásúnak nevezzük. Mivel , és , így (-dimenziós nullvektor) és (-es egységmátrix). eloszlásának jelölése .

Legyen most , -es mátrix és . Ekkor -et n-dimenziós normális eloszlásúnak nevezzük. A várható érték vektor és a szórásmátrix transzformációs formulája alapján és . eloszlásának jelölése .

Ha , ahol , akkor nem invertálható esetén (azaz, ha ) eloszlása -nél kevesebb dimenziós lineáris sokaságára (konkrétan -re) koncentrálódik, így nem lehet sűrűségfüggvénye. Mivel szórásmátrixa éppen , így pontosan akkor nem invertálható, ha nem invertálható. Ezért -t elfajult n-dimenziós normális eloszlásnak nevezzük, ha nem invertálható.

Invertálható esetén létezik sűrűségfüggvény, ami a következő módon határozható meg.

esetén koordinátái független standard normálisak. Ezért sűrűségfüggvénye db egydimenziós standard normális sűrűségfüggvény szorzata:

ahol .

sűrűségfüggvénye:

ahol .

Ez mutatja, hogy a nem elfajult -dimenziós normális eloszlást meghatározza a várható érték vektora és a szórásmátrixa. (Ez a tény igaz az elfajult esetben is, amit jelöléseinkben már ki is használtunk.)

Tetszőleges normális eloszlás esetén igaz, hogy koordinátái pontosan akkor függetlenek, ha korrelálatlanok. Jelenlegi ismereteink alapján ezt a nem elfajult esetben tudjuk bebizonyítani.

3.12. Feladat. Lássuk be, hogy ha egy (nem elfajult) -dimenziós normális eloszlású valószínűségi vektorváltozó koordinátái korrelálatlanok, akkor függetlenek!

3.5.4. 3.5.4. A konvolúció

Legyenek és független valószínűségi változók , illetve sűrűségfüggvénnyel. Ekkor -nak létezik sűrűségfüggvénye, melyet a

képlettel számolhatunk ki. -t és konvolúciójának nevezzük.

3.22. Példa. Számítsuk ki normális eloszlások konvolúcióját! és tőle független esetén sűrűségfüggvénye:

Az exponensben teljes négyzetté alakítunk (a , és jelölésekkel élünk):

Ennélfogva

Az integrandus éppen normális sűrűségfüggvény, így az integrál értéke 1. Ezért pont az sűrűségfüggvénye. Tehát és konvolúciója éppen . Más szóval, független normális eloszlású valószínűségi változók összege is normális eloszlású.

Gyakorlatok

  1. Legyenek , , független, a -en egyenletes eloszlású valószínűségi változók. Lássuk be, hogy .

  2. Legyenek a 3-dimenziós valószínűségi vektorváltozó koordinátái független, eloszlásúak. Lássuk be, hogy hosszának sűrűségfüggvénye

    ha (Maxwell-féle sebességeloszlás).

  3. Legyen normális eloszlású valószínűségi vektorváltozó. Lássuk be, hogy koordinátáinak bármely lineáris kombinációja is normális eloszlású!

Ellenőrző kérdések

  1. Mi a várható érték vektor és mi a szórásmátrix?

  2. Mit nevezünk -dimenziós standard normális eloszlásnak?