3.6. 3.6. A nagy számok törvényei

3.6.1. 3.6.1. A Markov- és a Csebisev-egyenlőtlenség

3.39. Tétel. (Markov-egyenlőtlenség.) Legyen valószínűségi változó és rögzített szám. Ekkor

Bizonyítás. Abszolút folytonos -ra bizonyítunk. Mivel , így sűrűségfüggvényére: , ha .

3.40. Tétel. (Csebisev-egyenlőtlenség.) Tegyük fel, hogy a valószínűségi változónak véges a szórása. Ekkor rögzített szám esetén

Bizonyítás. Legyen , . Alkalmazzuk a Markov-egyenlőtlenséget.

3.6.2. 3.6.2. A nagy számok gyenge törvényei

Ebben a részben valószínűségi változók egy sorozatát fogja jelölni, , , pedig az ún. részletösszegek sorozatát. A nagy számok gyenge törvénye az alkalmasan normált sorozat sztochasztikus konvergenciáját állítja.

3.41. Definíció. Azt mondjuk, hogy az valószínűségi változó sorozat sztochasztikusan konvergál az valószínűségi változóhoz, ha esetén

Ennek jelölésére a formulát használjuk. A sztochasztikus konvergenciát más néven valószínűségben való (mértékben való) konvergenciának is hívják.

3.42. Tétel. Legyenek páronként független, azonos eloszlású valószínűségi változók. Tegyük fel, hogy . Jelölje a közös várható értéket. Ekkor

Bizonyítás. A Csebisev-egyenlőtlenség alapján -ra

ha . (A számolás során kihasználtuk, hogy páronként független összeadandók esetén a szórásnégyzet additív.)

A nagy számok gyenge törvényének jelentése a következő. úgy tekinthető, mint egy valószínűségi változóra vonatkozó független megfigyeléssorozat (hisz -k azonos eloszlásúak). Így a megfigyelések átlaga, míg az várható érték az elméleti átlag. Tehát a megfigyelések átlaga konvergál az elméleti átlaghoz. A törvény ,,gyenge” jelzője azt jelenti, hogy a konvergencia ,,csak” sztochasztikus, azaz ,,nagy esetén kicsi a valószínűsége, hogy nagyon eltérjen -től”.

Megjegyezzük, hogy Hincsin bebizonyította, hogy a tétel érvényben marad akkor is, ha helyett csupán a feltételt követeljük meg.

3.6.3. 3.6.3. A nagy számok Bernoulli-féle törvénye

Tekintsünk egy kísérletet és abban egy eseményt, legyen . Ismételjük meg -t -szer egymástól függetlenül. Jelölje az relatív gyakoriságát. Ekkor éppen alakba írható, ha , ahol jelenti az bekövetkezései számát a kísérlet -edik végrehajtásában. A -k független Bernoulli-eloszlásúak, , . Ez pont a 3.42 Tételbeni szituáció speciális esete. Így

hisz . Az sorozat első 200 tagjának viselkedése ( esetén) a 3.6. ábrán látható.

3.6. ábra - A nagy számok Bernoulli-féle törvénye

A nagy számok Bernoulli-féle törvénye

3.16-ot a nagy számok Bernoulli-féle törvényének nevezik. Ennek jelentése az, hogy a relatív gyakoriság (sztochasztikusan) konvergál a valószínűséghez. Jelentősége pedig az, hogy a valószínűségszámítás általunk ismert modelljében (tételként) megjelenik az a törvényszerűség, amelyet a modell felállításakor mint empirikus tényt vettünk figyelembe az axiómák alkalmas megválasztásához.

3.6.4. 3.6.4. A nagy számok erős törvényei

Az erős törvények ún. majdnem biztos (más szóval majdnem mindenütti, ill. 1 valószínűséggel való) konvergenciát mondanak ki.

3.43. Definíció. Azt mondjuk, hogy az valószínűségi változó sorozat majdnem biztosan konvergál az valószínűségi változóhoz, ha , ha , ahol .

Tehát a majdnem biztos konvergencia - egy nulla valószínűségű halmaz kivételével - pontonkénti konvergenciát jelent. Ezen konvergencia más elnevezése 1 valószínűséggel való, ill. (mértékelméleti nyelven) majdnem mindenütti konvergencia.

3.7. ábra - Sztochasztikus konvergencia a 3.23. példában

Sztochasztikus konvergencia a 3.23. példában

3.23. Példa. Olyan sorozatot konstruálunk, mely sztochasztikusan konvergál, majdnem biztosan azonban nem. Legyen a intervallum a Borel-halmazokkal és a Lebesgue-mértékkel ellátva. Legyen , ; , ha és 0 egyébként; , ha , és 0 egyébként; , ha és 0 egyébként, , , ha és 0 egyébként, Mivel azon intervallum hossza, ahol , 0-hoz tart, így sztochasztikusan. Viszont az az intervallum, ahol , ,,végtelen sokszor visszatér” bármely pont fölé, így a sorozatban végtelen sok 0, és végtelen sok 1 van. Ezért nem konvergens, . A sorozat 4 tagja a 3.7. ábrán látható.

Megjegyezzük, hogy a majdnem biztos konvergenciából viszont következik a sztochasztikus konvergencia. Ezek alapján az erős törvények ténylegesen erősebb konvergenciát mondanak ki, mint a gyengék. A Kolmogorov-féle erős törvény az alábbi.

3.44. Tétel. Legyenek (teljesen) független, azonos eloszlású valószínűségi változók, tegyük fel, hogy . Ekkor majdnem biztosan, ahol (és ).

Az utóbbi időben derült ki, hogy nemcsak a gyenge törvény, hanem az erős is érvényes csupán páronkénti (azaz nem teljes) függetlenséget feltételezve. Azaz az alábbi tétel mind a Hincsin-féle, mind a Kolmogorov-féle törvényt maga után vonja.

3.45. Tétel. (Etemadi tétele.) Legyenek páronként független, azonos eloszlású valószínűségi változók. Tegyük fel, hogy . Ekkor

majdnem biztosan, ahol (és ).

A Kolmogorov-féle erős törvény alábbi általánosítása Marcinkiewicztől származik.

Legyenek független, azonos eloszlású valószínűségi változók. Tegyük fel, hogy , ahol , és , ha . Ekkor

majdnem biztosan. A fenti tétel bizonyítása (miként a jelen szakasz további tételeié is) meghaladja a jegyzet kereteit.

A Marcinkievicz-féle törvényből úgy tűnik, hogy ha -nek ,,elég magas momentuma létezik”, akkor ,,alkalmasan normálva” majdnem biztosan 0-hoz tart. Azonban -nél a törvényszerűség jellegében változás történik: ha , akkor nem egy konstanshoz tart, hanem normális eloszláshoz (eloszlásban). Ez már az ún. központi határeloszlás-tétel ,,vadászterülete” (a -nel való normálás miatt).

3.8. ábra - Integrál közelítő kiszámítása

Integrál közelítő kiszámítása

3.24. Példa. A nagy számok törvényének alkalmazásaként bemutatjuk, hogy hogyan lehet integrálokat az ún. Monte Carlo-módszerrel kiszámolni. Legyen . Határozzuk meg értékét. Ebből a célból tekintsük a független, -en egyenletes eloszlású valószínűségi változók sorozatát. Ekkor , független, az egységnégyzeten egyenletes eloszlású kétdimenziós valószínűségi vektorváltozók. Legyen

Ekkor -k függetlenek és azonos eloszlásúak. Továbbá

(a valószínűség geometriai kiszámítási módja alapján). A nagy számok erős törvénye miatt

majdnem biztosan. A fentiek alapján a , sorozat megfigyelésével kiszámíthatjuk -et. Az integrál közelítő értéke a függvény görbe alá eső pontok száma osztva az összes pontok számával. Lásd a 3.8. ábrát!

Gyakorlatok

  1. Legyen nemcsökkenő függvény. Legyen nemnegatív, korlátos valószínűségi változó: . Lássuk be, hogy esetén

    (Ez a Markov-egyenlőtlenség megfordításának tekinthető.) Legyen korlátos valószínűségi változó: . Igazoljuk, hogy

    (Ez a Csebisev-egyenlőtlenség megfordítása.)

  2. Legyen binomiális eloszlású és paraméterrel. Adjunk alsó becslést a valószínűségre a Csebisev-egyenlőtlenség felhasználásával.

  3. Legyenek független, standard normális eloszlásúak. Adjuk meg eloszlását. A Csebisev-egyenlőtlenség felhasználásával adjunk felső becslést a valószínűségre.

  4. Számítsuk ki az értékét a 3.24. példában megadott módszerrel.

Ellenőrző kérdések

  1. Mit mond ki a Markov- és a Csebisev-egyenlőtlenség?

  2. Mi a különbség a nagy számok erős és gyenge törvényei között?

  3. Mit állít a nagy számok Kolmogorov-féle erős törvénye?

  4. Mit állít a nagy számok törvénye a relatív gyakoriságokról?