3.7. 3.7. A központi határeloszlás-tétel

3.7.1. 3.7.1. A határeloszlás-tétel lokális alakja Bernoulli-féle kísérletsorozatra

Legyenek független, azonos Bernoulli-eloszlású valószínűségi változók: , , . Legyen , , az ún. -edik részletösszeg. Ekkor binomiális eloszlású, , .

3.13. Feladat. Ábrázoljuk közös koordinátarendszerben az paraméterű binomiális eloszlást és az paraméterű normális eloszlás sűrűségfüggvényét! (A 3.9. ábrán a eset látható.) Ugyanezt végezzük el a binomiális eloszlás standardizáltjával és a standard normális eloszlással! Mit tapasztalunk, ha nagy ( rögzített)?

3.9. ábra - A binomiális eloszlás közelítése normálissal

A binomiális eloszlás közelítése normálissal

A központi határeloszlás-tétel azt állítja, hogy ,,közelítőleg” normális eloszlású, ha ,,nagy”. A pontosabb megfogalmazáshoz emlékeztetünk arra, hogy a jelölés alatt azt értjük, hogy . Továbbá, azt jelenti, hogy . Jelölje eloszlását: , .

3.46. Tétel. Legyen . Ekkor azon -kra, melyekre , egyenletesen teljesül a következő:

A tétel állítása részletesebben kifejtve:

ha , ahol

Megjegyezzük, hogy 3.17 jobb oldalán (ill. 3.18-ben is) sűrűségfüggvényének a -helyen vett értéke szerepel. 3.17 jelentése tehát az, hogy a ,,farkak” kivételével a binomiális eloszlás egyenletesen közelíthető normális eloszlással.

3.14. Feladat. A binomiális eloszlás standardizáltjára mutassuk meg, hogy

ahol nemnegatív egész. Innen

jelöléssel

Mit jelent ez utóbbi a standardizált binomiális eloszlás és a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye alatti terület viszonyára vonatkozóan?

3.7.2. 3.7.2. A határeloszlás-tétel integrál alakja Bernoulli-féle kísérletsorozatra

Az előzőek alapján természetesnek tűnik, hogy az paraméterű binomiális eloszlásfüggvény közel van eloszlásfüggvényéhez. Ez igaz is, és pontos bizonyítása az alábbi tételből (és a szakasz végi gyakorlatokból) fog adódni. Szemléltetése pedig a 3.10. ábrán látható a esetben.

A binomiális eloszlás standardizáltjának eloszlásfüggvénye az egész számegyenesen egyenletesen konvergál a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényéhez. Ez részletesebben kifejtve az alábbit jelenti.

3.47. Tétel. Jelölje a standard normális eloszlásfüggvényt:

pedig jelölje a binomiális eloszlás standardizáltjának eloszlásfüggvényét:

ahol az összegzés olyan -ekre értendő, melyekre argumentumában nemnegatív egész áll. Ekkor

A 3.46 és 3.47 tételek az ún. Moivre-Laplace-tétel változatai.

3.10. ábra - A binomiális eloszlásfüggvény közelítése normálissal

A binomiális eloszlásfüggvény közelítése normálissal

3.15. Feladat. Vezessük le a nagy számok gyenge törvényét a Moivre-Laplace-tételből!

3.7.3. 3.7.3. Valószínűségeloszlások konvergenciája

A majdnem biztos, ill. a sztochasztikus konvergencia valamilyen értelemben maguknak a valószínűségi változóknak a ,,közelségén” alapul, míg a most bevezetendő konvergencia csupán az eloszlások ,,közelségén”.

3.48. Definíció. Azt mondjuk, hogy az eloszlásfüggvény sorozat gyengén konvergál az eloszlásfüggvényhez, ha

teljesül minden olyan pontban, ahol folytonos.

Azt mondjuk, hogy a valószínűségi változó sorozat eloszlásban konvergál a valószínűségi változóhoz, ha gyengén konvergál -hez.

3.11. ábra - Eloszlásfüggvények konvergenciája

Eloszlásfüggvények konvergenciája

3.25. Példa. (1) Ha egyenletes eloszlású a intervallumon, és , akkor eloszlásban tart -hez, de , azaz az ugrási helyén nem áll fenn az eloszlásfüggvények konvergenciája. és a 3.11 ábra (a) és (b) részén látható. Másrészt, ha egyenletes eloszlású -en, akkor eloszlásban tart -hez, és minden esetén.

(2) Ha egyenletes eloszlású -en, akkor (eloszlásfüggvényét -nel jelölve)

Azaz eloszlásfüggvények határértéke nem feltétlenül eloszlásfüggvény. és a 3.11 ábra (c) és (d) részén látható.

3.7.4. 3.7.4. A központi határeloszlás-tétel az általános esetben

A matematikai statisztika módszereinek jelentős része arra a feltevésre épül, hogy a megfigyelt mennyiség normális eloszlású. Azt, hogy a megfigyelt mennyiségek igen gyakran (közelítőleg) normális eloszlást követnek, egyrészt a tapasztalat mutatja, másrészt elméletileg a központi határeloszlás-tételek támasztják alá.

3.49. Tétel. Legyenek független, azonos eloszlású valószínűségi változók, . Tegyük fel, hogy véges és pozitív, és legyen . Ekkor

.

A 3.19 képlet jelentése: standardizáltjának eloszlásfüggvénye a standard normális eloszlásfüggvényhez tart esetén. Megjegyezzük, hogy a központi határeloszlás tétel általánosabb alakjai a fentinél jóval gyengébb feltételek esetén állítják, hogy valószínűségi változók összegei normális eloszláshoz tartanak.

3.7.5. 3.7.5. A központi határeloszlás-tétel lokális alakja

3.50. Tétel. Legyenek független, azonos eloszlású valószínűségi változók, . Tegyük fel, hogy véges és pozitív és . Jelölje az standardizáltját. Tegyük fel, hogy -nek létezik sűrűségfüggvénye, mely szakaszonként folytonos. Jelölje az sűrűségfüggvényét (amely a feltételek miatt létezik). Tegyük fel, hogy valamely -ra korlátos. Ekkor

és a konvergencia -ben egyenletes.

Tehát a standardizált részletösszegek sűrűségfüggvénye a standard normális sűrűségfüggvényhez konvergál. A tétel bizonyítása megtalálható pl. Rényi (1981) könyvében.

3.7.6. 3.7.6. A központi határeloszlás-tétel szemléltetése

Legyenek független, azonos eloszlású valószínűségi változók, , , . A központi határeloszlás-tétel alapján, nagy esetén közelítőleg standard normális eloszlású. Tehát annak a valószínűsége, hogy valamely intervallumba esik, nagyjából annyi, mint a függvény alatti terület -n. Ezt kísérletileg úgy láthatjuk, hogy -et sokszor megfigyeljük, és meghatározzuk ezen mennyiség -be való esésének relatív gyakoriságát.

Ennek számítógépes szimulációval való szemléltetése a következő. Generáljuk (nagy -re) -et. Határozzuk meg konkrét értékét. Ezt ismételjük sokszor. Ábrázoljuk az egyes részintervallumokba esés (relatív) gyakoriságát.

3.12. ábra - A standardizált bolyongás

A standardizált bolyongás

Konkrétan a szimmetrikus véletlen bolyongás esetére készítettük el a 3.12. ábrát. Most , így az -et kell ábrázolni. A sorozat (töröttvonallal összekötve) látható az ábrán. Az értékét 49-nek választottuk (hogy a bolyongás lefolyása jól látható legyen), a becsapódás helyén pedig 1 egységnyi súlyt helyeztünk el.

Ezután egy hosszúságú kísérletsorozatot sokszor (konkrétan 300-szor) megismételtünk. A sok hosszú bolyongás becsapódásai az -nál lévő függőleges falon megközelítőleg a haranggörbét domborítják ki (3.13 ábra).

3.13. ábra - A standardizált bolyongás ismétléseinek eredménye

A standardizált bolyongás ismétléseinek eredménye

Gyakorlatok

  1. A központi határeloszlás-tétel lokális alakjából (azaz a 3.50 Tételből) vezessük le annak integrál alakját (azaz a 3.49 Tételt).

  2. Legyenek független, azonos eloszlású valószínűségi változók, . Jelölje az eloszlásfüggvényét, pedig az eloszlásfüggvényét. Bizonyítsuk be, hogy

    minden valós számra. Azaz eloszlása a neki megfelelő várható értékű és szórású normálishoz van közel. A bizonyításhoz használjuk a 3.49 Tételt és azt a tényt, hogy az eloszlásfüggvények konvergenciája egyenletes, ha a határ-eloszlásfüggvény folytonos.

  3. Legyenek független, a -en egyenletes eloszlású valószínűségi változók, . A központi határeloszlás-tétel és a normális eloszlás táblázata segítségével adjunk közelítést a valószínűségre.

Ellenőrző kérdések

  1. Miben különbözik a nagy számok törvénye és a központi határeloszlás-tétel?

  2. Mondja ki a központi határeloszlás-tételt!