4. fejezet - Nevezetes abszolút folytonos eloszlások

4.1. 4.1. Az egyenletes eloszlás

4.1.1. 4.1.1. Az egyenletes eloszlás jelentése

Ha egy véges intervallumra úgy dobunk egy pontot, hogy az intervallum bármely részintervallumára annak hosszával arányos valószínűséggel essen, akkor a pont -koordinátája egyenletes eloszlású.

A valószínűségi változót az intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezzük, ha eloszlásfüggvénye

Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye

egyébként .

4.1. ábra - Az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye

Az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye

4.2. ábra - Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye

Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye

4.1.2. 4.1.2. Az egyenletes eloszlás jellemző mennyiségei

A várható érték:

A szórásnégyzet:

4.3. ábra - 2, ill. 3 egyenletes eloszlás konvolúciója

2, ill. 3 egyenletes eloszlás konvolúciója

A 4.3. ábra (a) részén 2, (b) részén pedig 3 független, -en egyenletes eloszlású valószínűségi változó összegének sűrűségfüggvénye látható. A konvolúció simító hatása jól megfigyelhető.

4.1.3. 4.1.3. A többdimenziós egyenletes eloszlás

Legyen véges Lebesgue-mértékű Borel-halmaz (azaz területe, térfogata, véges). Dobjunk -re egy pontot úgy, hogy a bármely Borel-részhalmazára annak Lebesgue-mértékével arányos valószínűséggel essen, akkor a pont helyvektora egyenletes eloszlású -n.

Ekkor sűrűségfüggvénye , ha , egyébként (ahol a Lebesgue-mértéket jelöli). Az ilyen sűrűségfüggvényű eloszlást nevezzük -n egyenletes eloszlásnak.

Gyakorlatok

  1. Számítsuk ki az -n egyenletes eloszlás centrált momentumait!

  2. Számítsuk ki 2, ill. 3 független, -en egyenletes eloszlású valószínűségi változó összegének sűrűségfüggvényét!

  3. Igazoljuk, hogy ha és , akkor az -en egyenletes eloszlás a -re koncentrálódó (diszkrét) eloszláshoz konvergál! Igazoljuk, hogy ha és , akkor az -en egyenletes eloszlás nem konvergál semmilyen eloszláshoz!

  4. Legyen egyenletes eloszlású az téglalapon. Határozzuk meg együttes eloszlásfüggvényét! Ábrázoljuk is!

  5. Legyen egyenletes eloszlású -n. Milyen esetén lesz és független?

Ellenőrző kérdések

  1. Mi az egyenletes eloszlás definíciója?

  2. Mi az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye, sűrűségfüggvénye, várható értéke?