4.2. 4.2. Az exponenciális eloszlás

4.2.1. 4.2.1. Az exponenciális eloszlás definíciója

A valószínűségi változót paraméterű exponenciális eloszlásúnak nevezzük, ha eloszlásfüggvénye:

Itt rögzített.

4.4. ábra - Az exponenciális eloszlásfüggvény

Az exponenciális eloszlásfüggvény

Az exponenciális eloszlás élettartamok és várakozási idők eloszlásaként lép fel. Az exponenciális eloszlás és a vele kapcsolatos más eloszlások a sorbanállás-elméletben és a megbízhatóság-elméletben használatosak.

Az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye:

4.5. ábra - Az exponenciális sűrűségfüggvény

Az exponenciális sűrűségfüggvény

4.2.2. 4.2.2. Az exponenciális eloszlás jellemző mennyiségei

A momentumok:

Speciálisan, a várható érték és a szórásnégyzet:

4.2.3. 4.2.3. Az exponenciális eloszlás tulajdonságai

Az exponenciális eloszlás „örökifjú”:

A fenti egyenlőség jellemzi is az exponenciális eloszlást az abszolút folytonos eloszlások között.

4.1. Tétel. Ha független, paraméterű exponenciális eloszlású, akkor -edrendű, paraméterű -eloszlású, azaz sűrűségfüggvénye:

Ezt a speciális -eloszlást Erlang-eloszlásnak is nevezik.

Bizonyítás. Ennek igazolása indukcióval történhet. esetén igaz a képlet, hiszen éppen az exponenciális sűrűségfüggvény. Az felbontást használva (és feltéve, hogy sűrűségfüggvénye ) sűrűségfüggvénye a konvolúciós képlet alapján:

4.2.4. 4.2.4. A Laplace-eloszlás

A valószínűségi változót paraméterű Laplace-eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye:

ahol rögzített.

A Laplace-eloszlás más neve: kétoldali exponenciális eloszlás. A Laplace-eloszlás várható értéke és szórásnégyzete:

Gyakorlatok

  1. Egy élettartamot jelentő valószínűségi változót örökifjúnak nevezünk, ha

    esetén (azaz, ha a életkort elérte, akkor ugyanolyan eséllyel él még s ideig, mintha éppen akkor született volna).

    1. Lássuk be, hogy az exponenciális eloszlás örökifjú!

    2. Lássuk be, hogy ha örökifjú, akkor exponenciális eloszlású!

  2. Határozzuk meg a Laplace-eloszlás eloszlásfüggvényét!

  3. Ábrázoljuk a Laplace-eloszlás eloszlás- és sűrűségfüggvényét!

  4. Számítsuk ki a Laplace-eloszlás várható értékét és szórásnégyzetét!

Ellenőrző kérdések

  1. Mi az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye?

  2. Mit jelent az „örökifjúság”?