4.3. 4.3. A normális eloszlás

4.3.1. 4.3.1. A normális eloszlás definíciója

A normális eloszláson alapul a statisztika klasszikus elméletének túlnyomó része. A valószínűségi változót normális eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye:

ahol , .

Jelölése: . Igazolnunk kell, hogy 4.1 valóban sűrűségfüggvényt határoz meg.

4.2. Tétel. A 4.1 alatti függvény sűrűségfüggvény.

Bizonyítás. nyilvánvaló. mérhető, mivel folytonos. Továbbá helyettesítéssel

Számítsuk ki -et. Kettős integrállá alakítással

, helyettesítéssel polárkoordinátákra térünk át (a transzformáció Jacobi-determinánsa ) :

Így 4.2 alapján , azaz tényleg sűrűségfüggvény.

grafikonja az ún. haranggörbe (Gauss-görbe). Az függvény -re szimmetrikus, szigorúan monoton növekvő a intervallumon. -ban -nek inflexiós pontja van. -ben -nek maximumhelye van, a maximum értéke . növelésével a harang alakú görbe „laposabbá” válik, csökkentésével pedig „csúcsosabbá”. A 4.6. ábrán normális sűrűségfüggvények láthatóak esetén. A csúcsosabbnál , a folytonos vonallal ábrázoltnál .

4.6. ábra - Normális sűrűségfüggvények különböző szórásokra

Normális sűrűségfüggvények különböző szórásokra

4.7. ábra - Hisztogram és normális sűrűségfüggvény

Hisztogram és normális sűrűségfüggvény

A normális eloszlásfüggvényre nincs zárt formula, de vannak jó numerikus közelítések.

A normális eloszlás a mérési hibák tipikus eloszlása. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy ha a mérési eredmények oszlopdiagramját (pontosabban szólva, sűrűséghisztogramját) felrajzoljuk, akkor arra általában jól illeszthető haranggörbe (lásd a 4.7 ábrát).

4.3.2. 4.3.2. A standard normális eloszlás

Ha , akkor -at standard normális eloszlásúnak nevezzük. A 4.8 és a 4.9 ábrán a standard normális sűrűségfüggvény, ill. eloszlásfüggvény látható. Az ábrákon bejelöltük a 0.025 kvantilist: és a 0.975 kvantilist: . Ez azt jelenti, hogy a sűrűségfüggvény alatt besatírozott két rész mindegyike 0.025 területű. Továbbá, hogy az eloszlásfüggvény értéke a helyen 0.025, az helyen pedig 0.975.

4.8. ábra - A standard normális sűrűségfüggvény

A standard normális sűrűségfüggvény

4.9. ábra - A standard normális eloszlásfüggvény

A standard normális eloszlásfüggvény

A páratlan rendű momentumok nullával egyenlőek, a párosak:

4.3.3. 4.3.3. A normális eloszlás jellemzői

Ha és , akkor . Speciálisan, standardizáltja standard normális eloszlású: . Másrészt minden normális eloszlás megkapható a standard normális eloszlásból: ha , akkor teljesül.

A várható érték:

A páratlan rendű centrált momentumok nullával egyenlőek, a párosak:

Speciálisan, a szórásnégyzet:

Ha , , és és függetlenek, akkor

Megemlítjük a standard normális eloszlásfüggvény egy egyszerű approximációját (lásd: Johnson, Kotz (1970), 1. kötet, 55. oldal). Jelölje a standard normális eloszlásfüggvényt. Ekkor

ha , ahol , , , . A közelítés hibája kisebb -nél.

Ha , akkor . Azaz a normális eloszlású valószínűségi változó a saját várható értéke körüli intervallumon kívülre elenyésző (kb. 0.0028) valószínűséggel esik. Ez az ún. -szabály (három szigma szabály), amelyet az ipari minőségellenőrzésben rutinszerűen használnak.

Gyakorlatok

  1. Bizonyítsuk be, hogy normális eloszlású valószínűségi változó lineáris függvénye is normális eloszlású! Alkalmazzuk az eloszlásfüggvény definícióját.

  2. Határozzuk meg a normális eloszlás momentumait a standard normális eloszlásra visszavezetve!

  3. A sűrűségfüggvények konvolúciós formulájával bizonyítsuk be, hogy normális eloszlások konvolúciója is normális eloszlás.

Ellenőrző kérdések

  1. Mi a normális eloszlás sűrűségfüggvénye?

  2. Mi a -szabály?