4.4. 4.4. A többdimenziós normális eloszlás

A többdimenziós normális eloszlás alapvető szerepet játszik a statisztikában, így itt részletesen tárgyaljuk.

4.4.1. 4.4.1. A többdimenziós standard normális eloszlás

Legyenek független, standard normális eloszlású valószínűségi változók. Ekkor a valószínűségi vektorváltozót -dimenziós standard normális eloszlásúnak nevezzük.

Mivel , és , így (-dimenziós nullvektor) és (-es egységmátrix). eloszlásának jelölése . Ha a dimenzióra is utalni akarunk, akkor .

4.3. Tétel. sűrűségfüggvénye

ahol .

Bizonyítás. Mivel koordinátái független, standard normálisak, ezért sűrűségfüggvénye db egydimenziós standard normális sűrűségfüggvény szorzata:

4.4.2. 4.4.2. A többdimenziós normális eloszlás általános alakja

4.4. Definíció. Legyen , -es mátrix és . Ekkor -et -dimenziós normális eloszlásúnak nevezzük.

Az valószínűségi változókat együttesen normális eloszlásúaknak nevezzük, ha -dimenziós normális eloszlású.

A fenti eloszlása -nek az lineáris sokaságára koncentrálódik.

A várható érték vektor és a szórásmátrix transzformációs formulája alapján és .

eloszlásának jelölése vagy .

Minden és -es szimmetrikus, pozitív szemidefinit mátrix esetén létezik eloszlás. A kívánt valószínűségi vektorváltozó , amennyiben .

4.5. Tétel. -nek akkor és csak akkor van sűrűségfüggvénye, ha invertálható. Ekkor sűrűségfüggvénye:

.

Bizonyítás. Mivel , így pontosan akkor nem invertálható, ha nem invertálható. Nem invertálható esetén eloszlása -nek -nél kevesebb dimenziós lineáris sokaságára koncentrálódik, így nem lehet sűrűségfüggvénye. Invertálható esetén a sűrűségfüggvény transzformációval határozható meg.

Ha nem invertálható, -t elfajult -dimenziós normális eloszlásúnak nevezzük.

Az -dimenziós normális eloszlású valószínűségi vektorváltozó koordinátáinak bármely lineáris kombinációja egydimenziós normális eloszlású.

Ennek igazolására legyen , ahol standard normális, és legyen . Ekkor , ahol a vektor -edik koordinátája. Itt az összeadandók független, egydimenziós normálisak, így az összeg is egydimenziós normális.

A fenti megjegyzésben és a továbbiakban az egyetlen pontra koncentrált eloszlást is (elfajult) normális eloszlásnak tekintjük.

4.4.3. 4.4.3. A többdimenziós normális eloszlás szemléltése

Könnyen látható, hogy a (nem elfajult) kétdimenziós standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének képe éppen egy harang alakú felület (egy haranggörbe saját tengelye körüli megforgatottja).

Általában az nem elfajult kétdimenziós normális eloszlás sűrűségfüggvénye a fenti harang „eltorzítottja”. Középpontja -ben van, szintvonalai pedig ellipszisek. Egy-egy ilyen ellipszis középpontja -ben van, tengelyei pedig és irányúak és hosszuk -gyel, ill. -vel arányos. Itt és a mátrix , ill. sajátértékekhez tartozó sajátvektorai. Ez a tény az

egyenlet megoldásából következik. Ebből ugyanis a felbontás - ahol az ortonormált sajátvektorok mátrixa, pedig a sajátértékek diagonális mátrixa - alapján

adódik. Itt és az vektor két koordinátája az és alkotta bázisban.

A 4.10. és 4.11. ábrához és

választással éltünk. Így sajátvektorai

és

sajátértékeki pedig és .

4.10. ábra - A kétdimenziós normális sűrűségfüggvény

A kétdimenziós normális sűrűségfüggvény

4.11. ábra - Koncentráció ellipszisek

Koncentráció ellipszisek

A 4.10 ábrán a sűrűségfüggvény harangja és annak ellipszis alakú szintvonalai láthatóak. A 4.11 ábrán újra a szintvonalak láthatóak, de most a fenti normális eloszlásból generált 400 véletlen számmal együtt. Ezen 400 pont jól mutatja a fenti ellipszisek koncentráció ellipszis elnevezésének a jogosságát: a normális eloszlású valószínűségi vektorváltozó a belső ellipszisektől kifelé haladva egyre kisebb valószínűséggel esik.

Térjünk rá nem elfajult háromdimenziós normális eloszlás szemléltetésére. Ekkor azon pontok, amelyeken a sűrűségfüggvény azonos értékeket vesz fel, egy-egy ellipszoidon helyezkednek el. Ezek a koncentráció ellipszoidok. Egy-egy ilyen ellipszoid középpontja -ben van, tengelyei pedig , , irányúak és hosszuk -, -, ill. -mal arányos. Itt -k () a mátrix sajátvektorai, -k () pedig a sajátértékei. A koncentráció ellipszoidokat úgy képzelhetjük el, mint a Föld (vagy egy csonthéjas gyümölcs) héjszerkezetét: középen a legsűrűbb az anyag, kifelé folyamatosan ritkul. A normális eloszlás ennek megfelelően a középponttól távolodva az ellipszoidok által diktálta ütemben esik egyre kisebb és kisebb valószínűséggel.

Az egyszerűség kedvéért legyen , pedig diagonális mátrix elemekkel a főátlóban. A 4.12 ábrán egy koncentráció ellipszoidját látjuk a függőleges koordináta síkok mentén felvágva. A metszeten kialakuló ellipszisek az egyre kisebb koncentráció ellipszoidok síkmetszetei.

4.12. ábra - Koncentráció ellipszoidok

Koncentráció ellipszoidok

4.4.4. 4.4.4. A többdimenziós normális eloszlás tulajdonságai

4.6. Tétel. Legyen többdimenziós normális eloszlású. Ekkor koordinátái akkor és csak akkor függetlenek, ha korrelálatlanok.

Általában a függetlenségből következik a páronkénti függetlenség, abból pedig a korrelálatlanság. Hangsúlyozzuk azonban, hogy fordítva általában nem igaz. A fenti állítás szerint viszont az együttesen normális eloszlású esetben a függetlenség, a páronkénti függetlenség és a korrelálatlanság ekvivalens tulajdonságok.

4.7. Tétel. Legyen . Bontsuk fel -at két részvektorra: , . Ekkor és akkor és csak akkor függetlenek, ha korrelálatlanok.

Normális eloszlású valószínűségi vektorváltozó lineáris függvénye is normális eloszlású.

4.8. Tétel. Ha és , ahol típusú mátrix, -dimenziós vektor, akkor

Gyakorlatok

  1. Legyen nem elfajult -dimenziós normális eloszlású. A sűrűségfüggvényeket felhasználva lássuk be, hogy koordinátái akkor és csak akkor függetlenek, ha korrelálatlanok! Szintén a sűrűségfüggvényeket felhasználva, bizonyítsunk hasonló állítást koordinátái helyett részvektoraira!

  2. Legyenek és külön-külön többdimenziós normális eloszlásúak és függetlenek. Lássuk be, hogy az egyesített

    vektor is normális eloszlású!

  3. Legyen együttes sűrűségfüggvénye:

    Mutassuk meg, hogy és külön-külön normális eloszlásúak, de együttesen nem azok!

  4. Legyen együttesen normális eloszlású, azonos szórással. Bizonyítsuk be, hogy és függetlenek és normális eloszlásúak!