4.5. 4.5. A normális eloszlásból származó eloszlások

4.5.1. 4.5.1. A gamma-függvény

4.9. Definíció. A

, függvényt gamma-függvénynek (-függvénynek) nevezzük.

4.10. Tétel. 1. .

2. Speciálisan, , .

3. .

Bizonyítás. 2. Parciálisan integrálva:

3. A standard normális sűrűségfüggvény integrálja a pozitív féltengelyen :

Átrendezve és az helyettesítést végrehajtva:

4.5.2. 4.5.2. A khi-négyzet eloszlás

Az valószínűségi változót szabadsági fokú khi-négyzet eloszlásúnak (-eloszlásúnak vagy -eloszlásúnak) nevezzük, ha sűrűségfüggvénye:

A khi-négyzet eloszlást szokták Pearson-féle eloszlásnak, ill. Helmert-féle eloszlásnak is nevezni.

A khi-négyzet eloszlás sűrűségfüggvénye a 4.13 ábrán látható.

4.13. ábra - A khi-négyzet eloszlás sűrűségfüggvénye

A khi-négyzet eloszlás sűrűségfüggvénye

4.5.2.1. A khi-négyzet eloszlás származtatása a normális eloszlásból.

Legyenek független standard normális eloszlásúak. Ekkor szabadsági fokú khi-négyzet eloszlású.

A khi-négyzet eloszlás kiemelkedő jelentőségét a matematikai statisztika számára éppen a normális eloszlásból való származtatása adja. A khi-négyzet eloszlás a statisztikában normális eloszlású mintaelemek esetén (pl. a széles körben alkalmazott szórásanalízisben) lépten-nyomon használatos. De a nem normális eloszlású mintaelemek esetén is alapvető, pl. a khi-négyzet próbák, ill. a likelihood-hányados próbák esetén ez a határeloszlás.

Ismeretes, hogy esetén , , így a -eloszlás várható értéke és szórásnégyzete:

4.5.2.2. A khi-négyzet eloszlás tulajdonságai.

4.11. Tétel. ( addíciós tétel.) Legyenek és független -eloszlású valószínűségi változók , ill. szabadsági fokkal. Ekkor szabadsági fokú -eloszlású.

A tétel szavakban kifejezve: független -ek összege , a szabadsági fokok pedig összeadódnak.

Bizonyítás. Legyenek független standard normális eloszlásúak. -et -ként, -et pedig -ként reprezentálva,

adódik, ez pedig szabadsági fokú khi-négyzet eloszlású.

A khi-négyzet eloszlás aszimptotikusan normális, azaz az alábbi érvényes.

4.12. Tétel. Legyen eloszlása . Ekkor standardizáltja eloszlásban tart a standard normális eloszláshoz:

eloszlásban, midőn .

Bizonyítás. Állítsuk elő -et független standard normálisok négyzetösszegeként: . Mivel , , így a standardizált:

De itt az összeadandók függetlenek és azonos eloszlásúak, ezért a központi határeloszlás-tétel miatt a fenti kifejezés eloszlásban -hez konvergál.

A fenti tételből következik, hogy nagy esetén a -eloszlás az eloszláshoz van közel. A és sűrűségfüggvénye a 4.14 ábrán látható.

4.14. ábra - \chi_{30}^{2} és \mathcal{N}(30,60) sűrűségfüggvényeés \chi_{30}^{2} és \mathcal{N}(30,60) sűrűségfüggvénye sűrűségfüggvénye

\chi_{30}^{2} és \mathcal{N}(30,60) sűrűségfüggvénye

4.5.2.3. A nem-centrált khi-négyzet eloszlás.

Legyenek független normális eloszlású valószínűségi változók: , . Ekkor a

valószínűségi változót szabadsági fokú, nem-centralitási paraméterű nem-centrált khi-négyzet eloszlásúnak nevezzük. Jelölése .

4.15. ábra - \chi_{20}^{2} és \chi_{20}(5) sűrűségfüggvényeés \chi_{20}^{2} és \chi_{20}(5) sűrűségfüggvénye sűrűségfüggvénye

\chi_{20}^{2} és \chi_{20}(5) sűrűségfüggvénye

A nem-centrált khi-négyzet eloszlás abban a speciális esetben, amikor a kiinduló valószínűségi változók 0 várható értékűek, éppen a korábban megismert (centrált) khi-négyzet eloszlás. Azaz .

A és sűrűségfüggvénye a 4.15. ábrán látható.

A következő állítás azt mutatja, hogy nem kell a -k várható értékeit külön-külön ismerni, az eloszlás csak a nem-centralitási paramétertől függ.

4.13. Tétel. Legyenek független normális eloszlású valószínűségi változók:

ahol . Ekkor

eloszlása megegyezik a 4.3 képletben adott eloszlásával, bármilyenek is a feltételt kielégítő számok.

4.5.3. 4.5.3. A Student-eloszlás

4.14. Definíció. Az valószínűségi változót szabadsági fokú Student-eloszlásúnak (-eloszlásúnak vagy -eloszlásúnak) nevezzük, ha sűrűségfüggvénye:

Azonnal látható, hogy fenti sűrűségfüggvény a 0-ra szimmetrikus. A Student-eloszlás sűrűségfüggvénye a 4.16 (a) ábrán látható.

szabadsági fok esetén a Student-eloszlás a ( paraméterű) Cauchy-eloszlás.

Megjegyezzük, hogy W. S. Gosset írta „Student” név alatt a cikkeit.

4.16. ábra - A Student-eloszlás sűrűségfüggvénye

A Student-eloszlás sűrűségfüggvénye

4.5.3.1. A Student-eloszlás származtatása a normális eloszlásból.

4.15. Tétel. Ha , , és független, akkor

-eloszlású szabadsági fokkal.

A Student-eloszlás jelentőségét a matematikai statisztika számára éppen a normális eloszlásból való származtatása adja. A Student-eloszlás a statisztikában normális eloszlású mintaelemek esetén (pl. a -próba, ill. -próba a szórásanalízisben) használatos.

4.16. Tétel. Ha , akkor az szabadsági fokú -eloszlás -hez konvergál.

A és az sűrűségfüggvénye a 4.16 (b) ábrán látható. Megjegyezzük, hogy nagyobb szabadsági fok esetén és az sűrűségfüggvénye annyira egymásra simul, hogy együtt való ábrázolásuk nehézkes.

4.5.3.2. A Student-eloszlás momentumai.

Legyen -eloszlású. Ha , akkor a -adik momentuma nem létezik (ill. végtelen). A páratlan rendű momentumok (amennyiben léteznek) 0-val egyenlőek.

ha és

ha .

4.5.4. 4.5.4. Az F-eloszlás

A valószínűségi változót szabadsági fokú -eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye:

Jelölése: .

4.17. ábra - Az Az F -eloszlás sűrűségfüggvénye-eloszlás sűrűségfüggvénye

Az F -eloszlás sűrűségfüggvénye

Az -eloszlást szokták Fisher-féle eloszlásnak, vagy Snedecor-féle eloszlásnak is nevezni.

és sűrűségfüggvénye a 4.16. ábra (a) részén, -é és -é pedig a (b) részén látható.

4.5.4.1. Az F-eloszlás származtatása a normális eloszlásból.

Az -eloszlás jelentőségét a matematikai statisztika számára éppen a normális eloszlásból való származtatása adja.

4.17. Tétel. Ha , , továbbá és független, akkor

-eloszlású és szabadsági fokkal.

4.5.4.2. Az F-eloszlás momentumai.

A várható érték ( esetén véges):

A szórásnégyzet ( esetén véges):

Gyakorlatok

  1. A 4.12 Tétel alapján lássuk be, hogy nagy esetén a -eloszlás az eloszláshoz van közel!

  2. Számítsuk ki várható értékét és szórásnégyzetét!

  3. Igazoljuk, hogy a -eloszlás aszimptotikusan standard normális, az alábbi módon. A

    előállításban független standard normálisak. De majdnem biztosan, ha .

  4. Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be a addíciós tételt a nem-centrált khi-négyzet eloszlásra!

  5. Igazoljuk, hogy ha -eloszlású, akkor -eloszlású!

  6. Lássuk be, hogy ha -eloszlású, akkor -eloszlású!

Ellenőrző kérdések

  1. Hogyan származtatható a -, - és -eloszlás a normálisból?

  2. Mi a -eloszlás várható értéke és szórása?

  3. Mi a - és a -eloszlás határeloszlása, ha ?