6.2. 6.2. Paraméteres próbák

6.2.1. 6.2.1. -próba.

A statisztikai hipotézisek vizsgálatára próbákat (teszteket) alkalmazunk. A legegyszerűbb próba az -próba.

Legyen minta eloszlásból. Tegyük fel, hogy ismert. Az várható értékre az előírás . Tehát a

nullhipotézist kell vizsgálnunk a

altenatív hipotézissel (ellenhipotézissel) szemben. fennállása esetén az

statisztika standard normális eloszlású. Tehát ha igaz, akkor nagy valószínűséggel beleesik egy intervallumba. Ha ez nem áll fenn, akkor az teljesülésére utal.

Tehát a döntési eljárás a következő. Adott értékhez meghatározzuk azt az értéket, melyre

az elsőfajú hiba nagysága. Ha , akkor -at szinten (azaz szignifikancia szinten) elvetjük. Az értékét 0.1, 0.05, 0.01-nek szoktuk választani.

6.6. Példa. Egy gépen 10 mm átmérőjű tengelyeket kell esztergálni. Mintavétel alapján döntsük el, hogy igaz-e.

Vegyünk egy mintát: . Realisztikus feltételezni, hogy a minta normális eloszlásból származik ismert szórással. Legyen . A mintából kiszámoltuk, hogy . Döntsünk 90%-os szinten és között.

A próbastatisztika:

A standard normális eloszlás táblázatából

Azaz . Mivel most , így -at 90%-os szinten elfogadjuk.

Az meghatározását a standard normális sűrűségfüggvény segítségével az alábbiakban szemléltetjük (6.1. ábra).

6.1. ábra - A standard normális sűrűségfüggvény és A standard normális sűrűségfüggvény és u_{\alpha/2} kapcsolata kapcsolata

A standard normális sűrűségfüggvény és u_{\alpha/2} kapcsolata


A alternatív hipotézist kétoldali hipotézisnek nevezzük. Az egyoldali hipotézis lehet vagy alakú.

Most ismertetni fogjuk az -próbát egyoldali alternatív hipotézis esetén. Legyen minta eloszlásból és legyen ismert. Vizsgáljuk a

nullhipotézist a

egyoldali ellenhipotézissel szemben. A próbastatisztika most is

Ennek eloszlása akkor és csak akkor standard normális, ha teljesül. igaz voltára az utal, ha túlságosan nagy. Tehát -at elvetjük, ha , ahol kritikus értéket a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye alapján a képletből határozzuk meg. Itt az előre megadott elsőfajú hiba. meghatározását a 6.2. ábra szemlélteti.

6.2. ábra - A kritikus érték és a standard normális sűrűségfüggvény

A kritikus érték és a standard normális sűrűségfüggvény

6.2.2. 6.2.2. Elfogadási és kritikus tartomány

Tekintsünk az valószínűségi változóra vonatkozóan egy elemű mintát: . Az általánosság csorbítása nélkül -et tekinthetjük mintatérnek (azaz összes lehetséges értékei halmazának).

6.4. Definíció. Legyen a nullhipotézis, az ellenhipotézis. -at egyszerű nullhipotézisnek mondjuk, ha egyelemű.

A próba konstrukciója során a mintateret két diszjunkt halmazra bontjuk. Jelölje őket és . Ekkor és

Ha a minta realizációja a halmaz eleme, akkor elfogadjuk a nullhipotézist, ha , akkor a alternatív hipotézist fogadjuk el.

6.5. Definíció. A halmazt elfogadási tartománynak, a halmazt kritikus tartománynak nevezzük.

A

relációt teljesítő számot a próba terjedelmének (a kritikus tartomány terjedelmének) nevezzük.

A próba pontos terjedelme

Ha a próba pontos terjedelme , akkor az értéket a próba szintjének nevezzük. (Az százalékban kifejezett értékére szokás a szignifikancia szint elnevezést is használni.)

Egy-egy konkrét statisztikai próba elvégzése előtt először a próba szintjét (a döntés szintjét) kell rögzíteni. Mivel a próba szintje egyféle helyes döntés valószínűsége ( fennállása esetén a minta realizáció az elfogadási tartomány eleme), a gyakorlatban kis értéket választunk: . Például azt jelenti, hogy döntésünk megbízhatósági szintje 0.95.

Döntésünk - akár elfogadjuk, akár elvetjük a nullhipotézist - lehet helyes, vagy hibás. A döntés során kétféle hibát követhetünk el.

6.6. Definíció. Ha igaz, és ennek ellenére elvetjük, akkor azt mondjuk, hogy elsőfajú hibát követtünk el.

Az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűsége (egyszerű nullhipotézis esetén): . Tehát a próba szintjével együtt az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét is rögzítjük.

6.7. Definíció. Ha a hipotézis az igaz, és mégis elfogadjuk -at, akkor másodfajú hibáról beszélünk.

Egyszerű alternatív hipotézis esetén másodfajú hibát

valószínűséggel követhetünk el.

6.2.3. 6.2.3. Kétmintás -próba

Ezzel az eljárással két független, ismert szórású, normális eloszlású valószínűségi változó várható értékének azonosságáról dönthetünk.

Legyenek , ill. eloszlású független valószínűségi változók, és ismert paraméterek. -re vonatkozóan tekintsünk egy , -ra vonatkozóan egy elemű, egymástól független mintát: . Legyen a próba szintje . Hipotézisünk:

A próbastatisztika

standard normális eloszlású, ha fennáll. A továbbiakban hasonlóan járunk el, mint az egymintás -próba esetén.

Ha (vagy ) alakú, akkor az egyoldali próbát kell alkalmazni.

6.2.4. 6.2.4. Próbák konstrukciója

Tegyük fel, hogy 5 mm átmérőjű csapágygolyókat kell gyártani. A minőségellenőrzés során mely tételeket nyilvánítsanak jónak, és melyeket selejtnek? Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy a gyártás során csupán az a hiba léphet fel, hogy a berendezés rossz beállítás miatt túl nagy, vagy túl kicsi golyókat gyárt. Vegyünk mintát, azaz mérjük meg db kiválasztott golyó átmérőjét. Az átmérők átlaga . Ha 5 mm közelében van, akkor jók a golyók, ha túl nagy, vagy túl kicsi, akkor selejtesek. De mik legyenek azok a kritikus értékek, amelyek alatt, ill. fölött már selejtesnek minősítjük a golyókat? Ehhez segít hozzá az statisztika:

eloszlása esetén standard normális. A standard normális eloszlású valószínűségi változó azonban nagy valószínűséggel egy intervallumban veszi fel értékeit. Ha ezen az intervallumon kívül esik értéke, akkor arra gondolhatunk, hogy a kiinduló hipotézisünk nem volt igaz, így -at elvetjük.

A kritikus tartomány megadása azonban nemcsak a nullhipotézistől, hanem a alternatív hipotézistől is függ. Tekintsük most azt az esetet, amikor az élelmiszerbolt vezetője a sütödétől 2 kg-os kenyereket vásárol. a nullhipotézis, pedig az ellenhipotézis, amit a boltvezető tekint, hisz számára csak a túl kicsi kenyér a rossz. Így csak akkor fogja a szállítmányt visszautasítani, ha a megmért kenyerek súlyának átlaga túl kicsi. Egyoldali -próbát alkalmazhat, és a kritikus (elutasítási) tartománya alakú lesz. Tehát a kritikus tartományt úgy kell megválasztani, hogy a számunkra „rossz” esetektől óvjon.

Mikor jó egy próbastatisztika? Az -próba esetén ismeretes, hogy ha a valódi paraméter közel van a nullhipotézisben szereplő paraméterhez, akkor -at kis eséllyel vetjük el, míg ha távol van tőle, akkor nagy eséllyel vetjük el a -at.

A fentiek alapján a próbastatisztika legyen olyan, hogy

  1. eloszlása pontosan ismert esetén,

  2. másképpen viselkedjen, ha nem igaz, mint akkor, amikor igaz,

  3. ha „nagyon nem igaz”, akkor a próbastatisztika viselkedése térjen el nagyon attól, ahogy esetén viselkedik.

Ha a fenti elveknek megfelelő próbastatisztikát már megtaláltuk, akkor annak alapján már tudjuk, merre van a jó és merre a rossz. De pontosan hol húzzuk meg a határt a jó (az elfogadási tartomány) és a rossz (a kritikus tartomány) között? Ez az elsőfajú hiba megválasztásával történik. Ha pl. egy preciziós műszert gyártunk, akkor az alkatrészek közül szigorúan válogatunk: vállaljuk, hogy selejtnek minősítünk egy jó alkatrészt is, semmint véletlenül rosszat építsünk be. Tehát az elsőfajú hibát nagynak választjuk. Azt azonban, hogy a szokásos értékek (0.1, 0.05, 0.01) közül melyiket választjuk, a konkrét probléma alapján döntjük el.

6.2.5. 6.2.5. Egymintás -próba

Legyen eloszlású valószínűségi változó, ahol az várható érték és a szórás ismeretlenek. Az valószínűségi változóra vonatkozó elemű minta . A próba szintje . A hipotézis a várható értékre vonatkozik:

Ismert, hogy valószínűségi változó paraméterű (Student)-eloszlású, ahol

és

Tehát ha a nullhipotézis igaz, a

próbastatisztika paraméterű -eloszlású. Az paraméterű -eloszlás táblázatából kiolvasható az a kritikus érték, amelyre

fennáll. Erre az értékre igaz, hogy

A kritikus tartomány tehát:

és az elfogadási tartomány:

Egyoldali esetben az ellenhipotézis

Ekkor azt a értéket kell kikeresnünk a táblázatból, amely a következő összefüggést teljesíti:

Az egyoldali ellenhipotézishez tartozó kritikus tartomány:

Gyakorlatok

  1. Automata csővágó gép 1200 mm-es darabok levágására van beállítva. A levágott cső hossza véletlentől függő változó, előzetes adatfelvételből tudjuk, hogy normális eloszlású és szórása 3 mm. Kiválasztunk 16 levágott csövet. A mintából kapott méretek:

    Elfogadható-e 95% -os szinten, hogy az eltérés nem szignifikáns, vagyis a méretek ingadozása csak a véletlen műve?

  2. Adott két független minta a szórású normális eloszlásból. Az egyik, 9 elemű minta realizációjának átlaga 0.1672; a másik 16 mérésből álló minta realizáció átlaga 0.1683. Elfogadható-e 92% -os szinten, hogy a két sokaság várható értéke megegyezik?

Ellenőrző kérdések

  1. Mi a nullhipotézis, ellenhipotézis, elsőfajú hiba, másodfajú hiba, elfogadási tartomány, kritikus tartomány?

  2. Mi az -próba?