7.3. 7.3. Differenciálszámítás

A Taylor-formula.

ahol az és az között fekvő valamely pont.

Az függvényre a Taylor-formula.

Az Taylor-sora.

Az függvényre a Taylor-formula.

ahol .

A L'Hospital-szabály.

vagy

esetén

Kétváltozós függvény szélső értékei. Ha az függvénynek az pontban szélső értéke van (és léteznek a parciális deriváltjai) akkor

Legyen továbbá

(és legyenek első és második parciális deriváltjai az egy környezetében folytonosak). Teljesüljön 7.1. Ekkor

a) esetén az függvénynek az pontban szélső értéke van, mégpedig

(i) szigorú maximuma, ha ,

(ii) szigorú minimuma, ha ;

b) esetén az függvénynek az pontban nincs szélső értéke;

c) esetén pedig előfordulhat, hogy az pontban van szélső érték, de az is, hogy nincs szélső érték.

Az a) rész (i) esetére példa az lefelé néző paraboloid, melynek az pontban maximuma van; az (ii) esetre példa az felfelé néző paraboloid, melynek az pontban minimuma van; míg a b) részre példa az nyeregfelület, melynek az pontban nincsen sem maximuma, sem minimuma (7.1. ábra).

7.1. ábra - Paraboloidok és nyeregfelület

Paraboloidok és nyeregfelület