7.5. 7.5. Vektorok és mátrixok

Transzponálás. Az -dimenziós euklideszi tér vektorait oszlopvektoroknak tekintjük, a segı́tségével jelölt transzponáltjaik tehát sorvektorok:

Belső szorzat és diadikus szorzat. Legyen és két -beli vektor. Az skalár a két vektor belső szorzata, mı́g az méretű mátrix a két vektornak a diadikus szorzata:

Merőleges (ortogonális) vetítés. Legyen az -dimenziós euklideszi tér egy vektora, pedig egy altere. Ekkor egyértelműen létezik egy , melyre merőleges a -re (azaz merőleges minden elemére). az merőleges vetülete -re, pedig a merőleges (ortogonális) komplementere (7.2. ábra).

7.2. ábra - Az Az \boldsymbol{y} vektor merőleges vetülete a V altérre vektor merőleges vetülete a Az \boldsymbol{y} vektor merőleges vetülete a V altérre altérre

Az \boldsymbol{y} vektor merőleges vetülete a V altérre

van -hoz a legközelebb a altérből:

Ez a legkisebb négyzetek elvének az alapja.

Sajátérték, sajátvektor. Legyen -es mátrix, . Ha teljesül, és , akkor -t az sajátvektorának, -t pedig sajátértékének nevezzük.

Szimmetrikus mátrixok spektrálfelbontása. Az valós elemű szimmetrikus mátrix sajátértékei valósak, a különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok ortogonálisak. Van a térnek az sajátvektoraiból álló ortonormált bázisa. Ennek alapján az spektrálfelbontása:

ahol a ortogonális mátrix oszlopai az ortonormált sajátvektorai, a diagonális mátrix főátlójában pedig az sajátértékei állnak.

Szimmetrikus, pozitív szemidefinit mátrix négyzetgyöke. Legyen az szimmetrikus, pozitív szemidefinit mátrix spektrálfelbontása 7.2. Itt a -k nemnegatívak. Legyen , ahol

A szimmetrikus, pozitív szemidefinit mátrix az négyzetgyöke: .