7.6. 7.6. Megoldások

7.6.1. 7.6.1. 1. fejezet

1.1. szakasz

Szövegközi feladatok

1.1. Útmutatás. (1) Az igazolandó összefüggések képletei:

(2) A de Morgan-féle azonosságok tetszőlegesen sok eseményre:

A feladatok megoldásához jó támogatást kapunk, ha az eseményeket Venn-diagrammal szemléltetjük, a valószínűségüket a területükként fogjuk fel, miközben az egész területét 1-nek választjuk.

1.3. Útmutatás. Alkalmazzuk rendre az , és diszjunkt felbontásokat.

Szakasz-végi feladatok

1. Megoldás:

4. c) Útmutatás. Alkalmazzuk az 1.5 formulát többször.

5. Megoldás. a) , b) (!).

6. Megoldás.

7. Megoldás. .

8. Megoldás. (!)

9. Megoldás. .

10. Megoldás. .

11. Megoldás. .

12. Megoldás. .

1.2. szakasz.

Szakasz-végi feladatok

2. Útmutatás. Vizsgáljuk két szomszédos tag nagyságviszonyát! Kiderül, hogy a valószínűségek növekvőek, amíg eléri -t (egészrész).

Megoldás. A maximális tag a -edik, ha nem egész, ill. két maximális tag van, ha egész: a -adik és a -edik.

4. Megoldás.

5. Útmutatás. Szemléltessünk Venn-diagrammal. a) halmazsorozat csökkenő, és

b) Csökkenő halmazsorozat tagjainak komplementeréből álló sorozat növekvő.

1.3. szakasz

Szakasz-végi feladatok

1. Megoldás. .

4. Megoldás. Az eredeti választás esetén 1/3, ha megváltoztatja a választását, úgy 2/3 eséllyel nyeri a csokit.

5. Megoldás. a) ; b) .

6. Útmutatás. Alkalmazzuk a 2. gyakorlat eredményét! Megoldás: .

8. Megoldás. .

9. Útmutatás. Jelölje az első tartályban lévő golyók számát az 1., a 2., ill. a 3. lépés után. Nyilván

A teljes valószínűség tétele alapján:

10. Megoldás. a) ; b) .

1.4. szakasz

Szövegközi feladatok

1.5. b) Megoldás. Ha független minden eseménytől, akkor önmagától is független, így . Megfordítva, ha , akkor . Ha , akkor , így - az a) feladat alapján - független minden eseménytől.

1.6. a) Legyen , míg és két nem független esemény.

b) Első megoldás. Dobjunk fel egy érmét kétszer egymás után. Legyen .

Második megoldás. Három szabályos érme feldobásakor legyen

Ekkor

Szakasz-végi feladatok

3. Megoldás. nyerését jelentő játszmasorozatok:

4. Útmutatás. Alkalmazzuk a Borel-Cantelli-lemmát.

6. Megoldás. .

7. Megoldás. a) 90%, b) 10%

9. Megoldás.

10. Megoldás. , ha .

7.6.2. 7.6.2. 2. fejezet

2.1. szakasz

Szövegközi feladat

2.3. Útmutatás. Összegezzünk a részrendszerben nem szereplő indexekre a 2.4 feltételben.

Szakasz-végi feladatok

2. Megoldás. Legyen és , ha

4. Megoldás.

5. Megoldás.

6. Megoldás. Legyen Ekkor a

egyenleteket összegezve -re,

adódik. Innen a definícióval . Ebből

jelöléssel a geometriai eloszlás szokásos képlete adódik. Nyilván esetén az 1 pontba koncentrált eloszlást, míg esetén a -be koncentrált nem valódi eloszlást kapjuk.

7. Megoldás. A jó termékekre

a selejt szériákra

2.2. szakasz

Szakasz-végi feladatok

1. Útmutatás. A lottó játék, illetve a biztosítás adhat ötletet.

2. Megoldás.

4. Útmutatás. Az

összeg minden tagja nemnegatív, az összeg azonban mégis 0.

8 Megoldás.

2.3. szakasz

Szakasz-végi feladatok

1. Útmutatás. A számolás analóg a Poisson-eloszláséval.

2. Megoldás.

3. Megoldás.

A

összefüggést használva választással

4. Megoldás.

6. Megoldás.

2.4. szakasz

1. Megoldás.

5. Útmutatás. Legyen

illetve

Fejtsük ki a jobb oldalát!

6. Útmutatás. Lásd a 2.14. példát.

2.5. szakasz

Szakasz-végi feladatok

1. Útmutatás. Számítsuk ki a azonosság mindkét oldalán együtthatóját!

2. Megoldás. , .

3. Útmutatás. vizsgálatával éppen az eloszlás növekvő, ill. csökkenő szakasza különíthető el.

4. Megoldás. ; .

6. Megoldás. 1/27.

13. Útmutatás. Feltételezhetjük, hogy a hibák száma egy cm-es darabban Poisson-eloszlású. A paraméter . Annak valószínűsége, hogy egy cm-es szálban nincs hiba: . Viszont darab cm-es szálban átlagosan hibátlan van (a binomiális eloszlás várható értéke).

7.6.3. 7.6.3. 3. fejezet

3.1. szakasz

Szövegközi feladat

3.4. b) Útmutatás. Legyen egy szakaszon.

c) Útmutatás. Legyen olyan, hogy és valamely -ra.

Szakasz-végi feladatok

1. Útmutatás. Ellenőrizzük, hogy teljesülnek-e az eloszlásfüggvények jellemző tulajdonságai.

3. Megoldás. Legyen , ha , és , ha ; másrészt legyen , ha , és , ha . Ekkor és eloszlása megegyezik.

4. Útmutatás. Nyilván . Továbbá, -re

7. Megoldás.

ha .

8. Megoldás. , ha .

10. Megoldás. , meredeksége az origótól távolodva csökken. Így a keresett intervallum alsó végpontja 0, a felső .

3.2. szakasz

Szakasz-végi feladatok

2. Útmutatás: ellenőrizzük, hogy teljesülnek-e a sűrűségfüggvények jellemző tulajdonságai.

4. Megoldás. , ha .

5. Megoldás. , ha .

8. Megoldás. Maximumhely: , inflexiós pont: .

9. Útmutatás. Ha , akkor standard normális eloszlású. Így elegendő meghatározni -t . Viszont a standard normális eloszlás szimmetriája miatt, ahol a standard normális eloszlásfüggvény. táblázatából a keresett három valószínűség rendre 0.6826; 0.9544; 0.9972.

10. Útmutatás. A görbe ,,magasabb” része alatti terület nagyobb.

3.3. szakasz

Szakasz-végi feladatok

1. Megoldás.

2. Megoldás.

4. Megoldás. , .

5. Megoldás. , és .

3.4. szakasz

Szakasz-végi feladatok

1. Útmutatás. Az eloszlásfüggvény

ahol az indikátor függvény, . Felrajzolva a fenti kettős integrál által reprezentált területet, adódik.

2. Megoldás.

ha ;

ha ; , ha ; és szimmetrikus (azaz páros függvény).

6. Útmutatás. Induljunk ki az

összefüggésből, és vegyük figyelembe a marginális sűrűségfüggvény alakját!

7. Megoldás. Nem függetlenek.

3.5. szakasz

Szövegközi feladat

3.12. Útmutatás. Ha koordinátái korrelálatlanok, akkor diagonális alakú, így is. Ezért a vele képzett kvadratikus forma négyzetösszeg, tehát szorzattá bomlik:

Könnyen látható, hogy ilyen esetben , konstans szorzótól eltekintve, nem lehet más, mint sűrűségfüggvénye. Tehát -k függetlenek.

Szakasz-végi feladatok

1. Útmutatás.

2. Útmutatás. eloszlásfüggvénye:

Polárkoordinátákra térve:

előállítást kapjuk. (Másik megoldás adódik -ból.)

3. Útmutatás. -re

ahol standard normális, azaz komponensei független (standard) normálisak. Innen azonnal adódik, hogy független normálisak összege, így maga is normális.

3.6. szakasz

Szakasz-végi feladatok

2. Megoldás: .

3. Megoldás: , .

3.7. szakasz

Szövegközi feladat

3.15. Útmutatás.

7.6.4. 7.6.4. 4. fejezet

4.1. szakasz

Szakasz-végi feladatok

2. Megoldás.

és -n kívül .

és -n kívül .

4.2. szakasz

Szakasz-végi feladatok

1. Útmutatás. (a) Használjuk a feltételes valószínűség definícióját!

A (b) részben a monoton csökkenő függvényre Cauchy-típusú függvényegyenletet kapunk: . Ennek megoldása alakú.

2. Megoldás.

4.4. szakasz

Szakasz-végi feladatok

2. Útmutatás. Lássuk be, hogy egydimenziós normális.

3. Megoldás. sűrűségfüggvénye:

Így standard normális eloszlású. Hasonlóan is az. Ezért mindkét várható érték 0. A kovariancia:

mert mindkét változóban páros. Ha együttesen normális eloszlású lenne, akkor a korrelálatlanságból következne a függetlenség. Ezért az együttes sűrűségfüggvény

lenne.

Ez egyben korrelálatlan, de nem független abszolút folytonos eloszlásokra is példa.

4.5. szakasz

Szakasz-végi feladatok

1. Útmutatás. Jelölje az standardizáltjának eloszlásfüggvényét, pedig a standard normális eloszlásfüggvényt. A 4.12 Tétel azt jelenti, hogy . Mivel folytonos, így a konvergencia egyenletes: . Ebbe a relációba -et helyettesítve kapjuk, hogy eloszlásfüggvényének és eloszlásfüggvényének a különbsége 0-hoz tart.

2. Útmutatás. Ha , akkor

(ez utóbbit a standard normálisra visszavezetve kaphatjuk). Ezután alkalmazzuk definícióját!

7.6.5. 7.6.5. 5. fejezet

5.1. szakasz

Szakasz-végi feladatok

1. Megoldás.

ahol a minta realizáció eloszlásfüggvényű sokaságból.

2. Megoldás.

ahol a minta realizáció eloszlásfüggvényű sokaságból.

4. Útmutatás. Ha -en egyenletes eloszlású, akkor és , így eloszlása „közel van” -höz.

5. Útmutatás. b) Ha binomiális eloszlású és paraméterrel, akkor és a központi határeloszlás tételből eloszlása -hez tart. Azaz aszimptotikusan eloszlású.

5.2. szakasz

Szakasz-végi feladatok

1. Megoldás.

7.6.6. 7.6.6. 6. fejezet

6.1. szakasz

Szakasz-végi feladatok

2. Megoldás. A loglikelihood függvény

ha és egyébként. nem differenciálható az helyen, azonban látható, hogy rögzítése után maximumát az helyen veszi fel, így . A

függvény viszont már differenciálható, így megoldva a

likelihood egyenletet a becslést kapjuk.

6.2. szakasz

Szakasz-végi feladatok

1. Megoldás. Jelölje valószínűségi változó a levágott cső hosszát. A hipotézis:

Kétoldali -próbát végzünk. Az adatokból és adódik. A 0.05 terjedelmű kritikus tartomány a következő:

A nullhipotézist tehát 95%-os szinten el kell vetnünk.

2. Megoldás.

. Kétmintás -próbát végezhetünk. A próbastatisztika értékére adódik. . A kritikus tartomány tehát:

A minta alapján a várható értékek egyenlőségét el kell vetni.