1. fejezet - Valószínűségszámítási alapok
Előző I. rész - Informatikai rendszerek modellezése, analízise Következő

1. fejezet - Valószínűségszámítási alapok

Sztochasztikus modellezés elképzelhetetlen valószínűségszámítási módszerek nélkül. Az a tapasztalatom, hogy érdemes a legfontosabb fogalmakról, tételekről egy rövid összefoglalót adni, mert a hallgatók esetleg más szinten és különböző megközelítésben tanulták ezt a tantárgyat. Csak azokat a tételeket sorolom fel, amiket többször használok majd és esetleg az alapozó oktatásnál nem került sor az ismertetésükre. Magyarországon bőséges forrás áll rendelkezésünkre, akár nyomtatott akár pedig digitális anyagokat tekintünk. Úgy gondolom, hogy Prékopa András [ 52 ] és Rényi Alfréd [ 57 ] klasszikus könyve minden intézményben megtalálható. Digitális formában számos jegyzetet és könyvet lehet letölteni mind magyar, mind pedig angol nyelven.

1.1. 1.1. Valószínűségszámítási összefoglaló

1.1. Tétel. Teljes valószínűség tételének főbb alakjai: Legyen pozitív valószínűségű eseményekből álló teljes eseményrendszer, pedig tetszőleges esemény. Ekkor

ahol

1.2. Tétel. Bayes-tétel: Legyen pozitív valószínűségű eseményekből álló teljes eseményrendszer, pedig tetszőleges, pozitív valószínűségű esemény. Ekkor

1.3. Definíció. Azt mondjuk, hogy a , , eloszlású valószínűségi változónak van véges várható értéke, ha a sor abszolút konvergens. Ekkor a várható értéke

1.4. Definíció. Legyen a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye . Ha véges akkor azt mondjuk, hogy -nek létezik véges várható értéke. Ekkor az

által meghatározott mennyiség létezik és véges. Az számot várható értékének nevezzük.

Bizonyítás nélkül felsoroljuk a várható érték főbb tulajdonságait.

Hogyha , akkor

  1. is létezik, és ,

  2. is létezik, és ,

  3. is létezik, és , ha és függetlenek,

  4. is létezik, és ,

  5. is létezik, és , ha léteznek a második momentumok,

  6. .

1.5. Tétel. A teljes momentum tétel: A teljes momentum tétel leggyakrabban használt alakja

ahol a feltételes -edik momentum. Használatos még az

alak is. esetben a teljes várható érték tételét kapjuk.

1.6. Definíció. Szórásnégyzet: Legyen valószínűségi változó, tegyük fel, hogy létezik és véges. A

mennyiséget (feltéve, hogy véges) szórásnégyzetének nevezzük.

Igazak a következőek

  1. Ha akkor .

  2. bármely esetén.

  3. ; akkor és csak akkor, ha .

Előző Fel Következő
I. rész - Informatikai rendszerek modellezése, analízise Tartalom 1.2. 1.2. Nevezetes diszkrét eloszlások