2.1. Tétel. Örökifjú tulajdonság: Ha akkor teljesülnek a következő, úgynevezett örökifjú ( emlékezetnélküliség ) tulajdonságok

Bizonyítás.

A második forma bizonyítása hasonlóan történik.

2.2. Tétel. , ahol o(h)(kisordó h) olyan mennyiség ami h-nél gyorsabban tart 0-hoz, azaz .

Bizonyítás. Mint látható az állítás ekvivalens

-val, amit a L'Hospital szabály felhasználásával bizonyítunk be, azaz

2.3. Tétel. Ha a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, melyre , valamint

akkor , ha .

Bizonyítás. Látható, hogy a feltételekből

összefüggést nyerjük, ebből pedig

Felhasználva, hogy kapjuk, hogy , ezzel pedig

Az alkalmazások során nagyon fontos szerepet játszik az alábbi állítás, amelynek segítségével párhuzamosan játszódó folyamatok közül tudjuk meghatározni a legelső esemény időtartamának az eloszlását.

2.4. Tétel. Ha függetlenek, akkor

szintén exponenciális eloszlású, mégpedig paraméterrel.

Bizonyítás. Jelen esetben felhasználjuk, hogy a komplementer esemény valószínűségéből hogyan határozhatjuk meg a kérdéses esemény valószínűségét, vagyis

2.1. Példa. Legyen , pedig paraméterű független exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy !

Megoldás: akkor és csak akkor ha . A teljes valószínűség tételét felhasználva kapjuk, hogy

2.2. Példa. Párhuzamosan kapcsolt rendszerek élettartamának eloszlása: Legyenek független valószínűségi változók, valamint . Határozzuk meg eloszlásfüggvényét!

Megoldás:

Ha , akkor

Ha pedig , akkor .

2.3. Példa. Mi lesz a párhuzamosan kapcsolt rendszer élettartamának várható értéke, 2 darab inhomogén, exponenciális eloszlású elem esetén?

Megoldás: Oldjuk meg először a példát a definíciót követve!

Ekkor

Így

Egyszerű számolással látható, hogy ez tovább írható a következő formulába

Nézzük most meg, hogyan oldhatjuk meg ezt a példát rövidebben!

Kezdő állapotban mindkét gép jó és az első meghibásodás várható ideje

míg a második meghibásodás az első meghibásodásától számolva akkor történik ha az első elromlott és utána a második is vagy fordítva amiből az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságát és a teljes várható érték tételt felhasználva következik, hogy a második meghibásodás várható ideje az első meghibásodás után

Így az átlagos működési idő

Homogén esetben ebből lesz, amint ezt a következő példából is látni fogjuk.

2.4. Példa. Párhuzamosan kapcsolt rendszer esetén mi a rendszer élettartamának várható értéke és szórásnégyzete, ha homogének az elemek , és függetlenek?

Megoldás:

Használjuk fel, hogy ha akkor

A helyettesítést alkalmazva kapjuk, hogy

A exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságából következik, hogy a meghibásodások közötti időtartamok is exponenciális eloszlásúak lesznek. Könnyen látható, hogy a -dik és -dik meghibásodás közötti idő paramétere , , és ezek az időtartamok egymástól függetlenek is az exponenciális eloszlás tulajdonságai miatt. Ezt a tényt nagyon jól tudjuk hasznosítani a -dik meghibásodás várható értékének és szórásnégyzetének a meghatározásához.

Ezek után érthető módon

Ebből a párhuzamosan kapcsolt rendszer élettartamának szórásnégyzete

2.5. Definíció. Legyenek és független valószínűségi változók és sűrűségfüggvénnyel. Ekkor a sűrűségfüggvénye

melyet és konvolúciójának nevezünk.

Ha és , akkor

2.5. Példa. Legyenek és független, paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók. Határozzuk meg sűrűségfüggvényét!

Megoldás: Az előző képlet alapján, behelyettesítve az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvényét kapjuk

ami azt mutatja, hogy független, azonos paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók összege nem exponenciális eloszlást követ.

2.6. Példa. Legyenek független, paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók. Mutassuk meg, hogy

Megoldás: A bizonyítást teljes indukcióval fogjuk végezni, ahol felhasználjuk az előző példa eredményeit is. -re és -re láttuk, hogy igaz. Tegyük fel, hogy -re is igaz és nézzük meg -re mi történik!

ami éppen az paraméterű Erlang-eloszlás sűrűségfüggvénye.

Ez nagyban megkönnyíti a várható érték és a szórásnégyzet meghatározását.

Az Erlang-eloszlás jól használható olyan valószínűségi változók eloszlásának közelítésére, melynél . Ekkor ha az első momentum adott, akkor az

és paraméterű Erlang-eloszlások keveréke, ahol

rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy

Ezt az -t szokás szimbólummal is jelölni.

Hipo-exponenciális eloszlás

Legyenek () független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók. Az valószínűségi változót hipo-exponenciális eloszlásúnak nevezzük.

Megmutatható, hogy sűrűségfüggvénye

Belátható, hogy

A hipo-exponenciális eloszlás relatív szórása , vagyis

Hiper-exponenciális eloszlás

Legyenek () független, exponenciális valószínűségi változók, pedig eloszlás. Az valószínűségi változót hiper-exponenciális eloszlásúnak nevezzük ha sűrűségfüggvénye

Eloszlásfüggvénye

Könnyű látni, hogy

Megmutatható, hogy a hiper-exponenciális eloszlás relatív szórása mindig nagyobb vagy egyenlő mint 1, vagyis

Abban az esetben, ha , akkor momentum alapján az alábbi illeszkedés ajánlatos

vagyis -drendű hiper-exponenciális eloszlású.

Mivel sűrűségfüggvényében paraméter szerepel és az illeszkedés csak momentum alapján történik, ezért végtelen sok megoldás lehetséges.

Tekintsük az úgynevezett kiegyensúlyozott várható értékek esetét, vagyis amikor

Ekkor

melyből a megoldás

Ha az , , momentumok alapján szeretnénk ezt a hiper-exponenciális eloszlást illeszteni, akkor ez csak az feltétel mellett lehetséges és ekkor egyértelmű. Meg lehet mutatni, hogy a feltétel teljesül a Gamma és lognormális eloszlásra is. Ebben az esetben

ahol

Eloszlások keveréke

2.6. Definíció. Legyenek valószínűségi változók, pedig eloszlás.

Az eloszlásfüggvényt az eloszlásfüggvények súlyokkal vett keverékének nevezzük.

Hasonlóan

Az sűrűségfüggvényt az sűrűségfüggvények súlyokkal vett keverékének nevezzük.

Könnyű belátni, hogy valóban eloszlás- illetve sűrűségfüggvény.

Ezen terminológiát használva így a hiper-exponenciális eloszlás exponenciális eloszlások keveréke.