A transzformáció fogalma teljesen megszokott a vizsgálatok során. Ennek a hatékony módszernek tömören az a lényege, hogyha az eredeti problémát nem tudjuk, vagy csak körülményesen tudnánk megoldani, akkor alkalmas transzformációval átvisszük egy másik feladatba, majd ennek megoldásából megpróbálunk az eredeti problémára választ adni. A transzformáció fajtája függ a probléma jellegétől. Ebben a fejezetben 2 nagyon bevált módszert mutatunk meg, amelyek lényegében a diszkrét és folytonos esetet ölelik fel. Természetesen rajtuk kívül számos más transzformáció is létezik. Gyakran előfordul, hogy ugyanannak a transzformációnak különböző nevet adnak az eltérő tudományterületek.
A tematika összeállításában főleg Allen [ 2 ], Gnyedenko, Beljajev, Szolovjev [ 24 ], Kleinrock [ 41 ], Ovcharov [ 51 ], Tijms [ 75 ], Trivedi [ 78 ] könyvekre támaszkodtunk.
3.1. Definíció.
Legyen 
nemnegatív diszkrét valószínűségi változó 
, 
eloszlással.
A 
függvényt az 
generátorfüggvényének nevezzük, ahol
akkor és csak akkor létezik ha a sor konvergens.
3.2. Tétel. A generátorfüggvényekre a következő tulajdonságok teljesülnek:
1. 
,
2. 
,
3. 
,
4. 
,
5. 
, 
.
.2. 
.
3. 
innen pedig 
.
4. 
Ebből pedig átrendezés után
3.3. Tétel.
Ha 
függetlenek, akkor 
Bizonyítás. A bizonyítás során a harmadik lépésben felhasználjuk, hogy független valószínűségi változók szorzatának várható értéke egyenlő a várható értékük szorzatával.
3.4. Tétel. A véletlen tagszámú összeg generátorfüggvénye
Bizonyítás. A teljes várható érték tétel alapján
Az alkalmazások során nagyon fontosak az alábbi tételek.
3.5. Tétel.
Ha nemnegatív, egész értékű változók egy 
sorozata azzal a tulajdonsággal bír, hogy eloszlásaik egy határeloszláshoz konvergálnak, azaz bevezetve a 
jelöléseket, léteznek a 
határértékek és 
, akkor a 
változók generátorfüggvényei a 
minden pontjában konvergálnak a 
eloszlás generátorfüggvényéhez, azaz
ahol
Ha a 
határértékek léteznek, de 
, akkor a generátorfüggvények konvergenciája csak az intervallum belsejében érvényes.
3.6. Megjegyzés. A tétel utolsó állítását illusztrálja a következő példa:
Legyen 
, azaz 
, és 
, ha 
, akkor
Azonban
3.7. Tétel.
Ha a 
változók generátorfüggvényei konvergálnak egy 
függvényhez, ha 
, akkor a 
változók eloszlásai konvergálnak ahhoz a valószínűségeloszláshoz, melynek a 
a generátorfüggvénye.
3.8. Megjegyzés.
Ha csak azt tesszük fel, hogy 
létezik, ha 
, akkor még nem következik, hogy 
generátorfüggvény.
3.1. Példa. Ha 
a 
és 
értékeket egyforma valószínűséggel veszi fel, akkor 
és 
, vagyis nem érvényes, hogy 
, mivel
<examend>
Ezeket a generátorfüggvény folytonossági tételének is szokás nevezni, és nagyon jól alkalmazhatóak a határeloszlás-tételek bizonyításánál.
Nevezetes eloszlások generátorfüggvénye
3.2. Példa. Határozzuk meg a Bernoulli-eloszlás generátorfüggvényét, majd ennek segítségével a várható értéket és s szórásnégyzetet!
Megoldás:
3.3. Példa. Határozzuk meg a 
paraméterű Poisson-eloszlás generátorfüggvényét, majd ennek segítségével a várható értéket és s szórásnégyzetet!
Megoldás:
3.4. Példa. Határozzuk meg független Poisson-eloszlások konvolúcióját generátorfüggvény segítségével!
Megoldás: Mivel független valószínűségi változók összegének generátorfüggvény a generátorfüggvények szorzata, valamint ismerve a Poisson-eloszlás generátorfüggvényét, kapjuk
amely éppen a 
paraméterű Poisson-eloszlás generátorfüggvénye.
3.5. Példa. Mutassuk meg a generátorfüggvények segítségével, hogy 
ha 
, 
úgy, hogy 
!
Megoldás: Használjuk fel, hogy ha 
akkor 
!
Azt fogjuk megmutatni, hogy a binomiális eloszlás generátorfüggvénye tart a Poisson-eloszlás generátorfüggvényéhez, azaz
amely a 
paraméterű Poisson-eloszlás generátorfüggvénye.
3.6. Példa. Legyen 
függetlenek, 
. Határozzuk meg 
generátor-függvényét!
Megoldás: Felhasználva a véletlen tagszámú összeg generátorfüggvényére kimondott tételt, kapjuk
amelyből látható, hogy 
.
3.7. Példa. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet-rendszert
kezdeti feltétel mellett!
Megoldás: Az egyenletek mindkét oldalát 
megfelelő hatványival megszorozva kapjuk
Bevezetve a
genetátorfüggvényt, láthatjuk, hogy a deriváltak generátorfüggvényét kapjuk a bal oldalon ha összeadjuk az egyenleteket. Ezért
A kezdeti feltétel pedig
Végül a differenciálegyenlet-rendszerből egyetlen egyenletet kaptunk, nevezetesen
a kezdeti feltétel pedig
Átrendezve az egyenletet kapjuk
ennek megoldása pedig
Mivel 
és 
, így 
azaz 
.
Így 
amelyből láthatjuk, hogy 
egy 
paraméterű Poisson-eloszlás generátorfüggvénye, ezért keresett megoldás
