3.9. Definíció. Legyen nemnegatív valószínűségi változó sűrűségfüggvénnyel. A függvényt az Laplace-transzformáltjának nevezzük, ahol

3.10. Tétel. A Laplace-transzformáltra a következő tulajdonságok teljesülnek

Bizonyítás. Tehát:

1.

2. első része úgy látható be, hogy nemnegatív és nemnegatív függvények integrálja is nemnegatív. A második részt pedig úgy bizonyíthatjuk be, hogy az felülről becsülhető az 1 konstans függvénnyel a intervallumon amiből azt kapjuk, hogy

3. ami függetlensége miatt , így .

4.

amiből következik, hogy .

A gyakorlati alkalmazások miatt még függvények Laplace-transzformáltjaival is kell foglalkoznunk, hiszen sok esetben differenciálegyelenteket tudunk megoldani a segítségükkel.

3.11. Tétel. Függvények Laplace-transzformáltjára igazak az alábbiak

1.

2.

Bizonyítás. 1.

2. Parciális integrálást alkalmazva

3.12. Tétel. Véletlen tagszámú összeg Laplace-transzformáltja

Bizonyítás. A teljes várható érték tétel alapján

Bizonyítás nélkül közöljük a gyakorlati alkalmazásoknál fontos alábbi állításokat.

3.13. Tétel. -re teljesülnek a következő határértékek

1. Kezdetiérték-tétel

2. Határérték-tétel

3.14. Tétel. POST-WIDDER-féle inverziós formula: Ha folytonos és korlátos -n, akkor

3.15. Tétel. Folytonossági-tétel: Tekintsük a valószínűségi változók sorozatát, melyeknek eloszlásfüggvénye . Ha , ahol valamely eloszlásfüggvénye, akkor

és fordítva.

Azaz, ha a Laplace-transzformáltak sorozata konvergál valamely valószínűségi változó Laplace-transzformáltjához, akkor .

3.8. Példa. esetén

3.9. Példa. esetén

hiszen független, azonos paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók összege.

3.10. Példa. Határozzuk meg hipo-exponenciális eloszlás esetén a Laplace-transzformáltat!

Megoldás: Az előzőekhez hasonlóan, csak most különböző paraméterek is lehetnek, ezért

A következő példa arra szolgál, hogyan tudjuk viszonylag egyszerűen meghatározni egy exponenciális eloszlású valószínűségi változó -edik momentumát. Ha ezt sűrűségfüggvény segítségével kellene megtennünk, akkor elég sokat kellene számolnunk.

3.11. Példa. Mutassuk meg Laplace-transzformált segítségével, hogyha , akkor

Megoldás:

3.12. Példa. Legyen geometriai eloszlású számláló folyamat és összeadandók. Határozzuk meg a véletlen tagszámú összeg eloszlását!

Megoldás: Mivel ha , akkor , így

Ami pedig éppen Laplace-transzformáltja.

3.16. Tétel. Keverékek Laplace-transzformáltja a Laplace-transzformáltak keveréke.

Bizonyítás. Legyen

Ekkor

3.13. Példa. Határozzuk meg a függvény Laplace-transzformáltját!

Megoldás:

3.14. Példa. Oldjuk meg Laplace-transzformált segítségével a következő differenciálegyenlet-rendszert

kezdeti feltételek mellett!

Megoldás: Vegyük mindkét oldal Laplace-transzformáltját! Ekkor

A helyettesítéses integrálás szabályát alkalmazva kapjuk, hogy

Ha korlátos azaz akkor

Így azt kapjuk, hogy

Így a mi esetünkben

valamint

Az előbbieket kihasználva kapjuk, hogy

amiből rögtön következik, hogy

Valamint

így

amiből könnyen belátható, hogy

Ebből pedig előző számításunkat felhasználva kapjuk, hogy