4.1. Definíció. Legyenek a egymástól független, azonos eloszlású, nemnegatív valószínűségi változók. A

valószínűségi változót felújítási folyamatnak nevezzük, az -t pedig felújítási függvénynek.

4.2. Tétel. Ha egymástól független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók, akkor

Bizonyítás. A konstrukcióból látszik, hogy paraméterű Erlang-eloszlású valószínűségi változó, vagyis

Számolásunknál felhasználjuk majd, hogyha az A eseményből következik a B esemény azaz , akkor . Látható, hogy a mi esetünkben az A esemény és a B esemény . A következő lépésben azt használjuk ki, hogy esemény pontosan akkor következett be, ha . Tehát

Ahogy láthatjuk az események száma egy paraméterű Poisson-eloszlást követ, ezt a folyamatot nevezzük paraméterű Poisson-folyamatnak.

Könnyű látni, hogy a Poisson-folyamat esetén

1. ,

2. ,

3. .

4.3. Definíció. Ritkasági feltétel:

Jelölje a idő intervallumban bekövetkezett események számát. A konstrukcióból szintén következik, hogy csak a -tól függ és nem attól, hol helyezkedik el. Továbbá, egymásba nem metsző idő intervallumokban vett események száma egymástól független valószínűségi változók.

A Poisson-folyamatot mint számláló folyamatot vezettük be, és levezettünk a mennyiségekre egy adott hosszúságú időintervallum alatt bekövetkező érkezések számának valószínűségeloszlására egy formulát.

Vizsgáljuk most meg a beérkezések időpillanatainak együttes eloszlását, ha előre ismert, hogy éppen igény érkezett ebben az intervallumban. Osszuk fel a intervallumot diszjunkt részre a következőképpen. Az hosszúságú intervallumok előzzék meg a hosszúságú intervallumokat , és az utolsó intervallum hosszúságú legyen, továbbá

Jelentse azt az eseményt, hogy éppen egy beérkezés fordul elő minden egyes intervallumban , az intervallumban pedig egy sem. valószínűségét akarjuk kiszámolni, feltéve, hogy éppen beérkezés történik a intervallumban.

A feltételes valószínűség definíciójából

Amikor a Poisson-folyamat szerinti beérkezéseket vizsgáljuk diszjunkt időintervallumokban, akkor független eseményeket vizsgálunk, azaz ezek együttes valószínűségét az egyes valószínűségek szorzataként lehet kiszámolni. Könnyű látni, hogy

és

Kihasználva ezt, azonnal kapjuk a következőt

Másrészt tekintsünk egy olyan folyamatot, amely a intervallumban darab pontot választ ki egymástól függetlenül, mégpedig mindegyiket az intervallumon egyenletes eloszlás szerint. Könnyen belátható, hogy

ahol a tényező amiatt jelenik meg, mert nem különböztetjük meg a pont permutációit. Észrevehetjük, hogy az előző összefüggésekben megadott két feltételes valószínűség megegyezik, és ennek alapján arra gondolhatunk, hogy ha a Poisson-folyamatban idő alatt beérkezés történik, akkor a beérkezések eloszlása ugyanaz, mint darab ugyanazon az intervallumon egyenletes eloszlású pont eloszlása.

4.1. Példa. Mi lesz az események intenzitása?

Megoldás:

4.4. Definíció. Sztochasztikus konvergencia:

4.5. Tétel. Bizonyítsuk be, hogy sztochasztikusan konvergál -hoz!

Bizonyítás. Felhasználva a Csebisev-egyenlőtlenséget valamint, hogy

kapjuk

amiből következik, hogy

4.6. Definíció. A felújítási folyamat esetén az események intenzitásán a határértéket értjük.

A gyakorlati problémáknál sokszor szükségünk van az igények beérkezési és kiszolgálási intenzitására, amely speciális esete az alábbi bizonyítás nélkül közölt tételnek.

4.7. Tétel. Elemi felújítási-tétel:

A differenciálegyenlet származtatása

Jelentse annak valószínűségét, hogy a t-edik időpillanatig esemény történt. A Poisson-folyamat tulajdonságai alapján ekkor felírhatjuk a következő egyenletrendszert

Az első egyenlet átalakítható a következő alakba

amelyből pedig a jól ismert módszerek alapján kapjuk, hogy

A többi egyenlettel is elvégezve a hasonló átalakításokat az egyenletrendszer az alábbi formában írható fel

Előző fejezetből ismerhetjük, hogy ennek a megoldása