A következő részben több viszonylag egyszerű rendszer működését modellezzük, mert ezek megértése után rátérhetünk majd a bonyolultabbak analízisére.

4.2. Példa. Tekintsünk egy gépet, amelynek 2 állapota van (0 ha működik, 1 ha a gép rossz) és a 0-dik időpillanatban a 0 állapotban tartózkodik! Mi a valószínűsége annak, hogy a t-edik időpillanatban az 1 állapotban lesz feltéve, hogy a működési idők paraméterű exponenciális míg a javítási idők paraméterű exponenciális eloszlású, egymástól független valószínűségi változók?

Megoldás: Legyenek -k a működési idők, amelyek független paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségű változók, és -k a javítási idők amelyek független, paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségű változók, valamint tegyük fel továbbá, hogy -k és -k is függetlenek egymástól!

Az egyszerűbb matematikai leírás végett vezessük be a következő jelöléseket!

Legyen

valamint

ezen állapotok eloszlása.

Ekkor a teljes valószínűség tétele alapján kihasználva az exponenciális eloszlás emlékezet nélküliségét az alábbi egyenletrendszert írhatjuk fel

Könnyű látni, hogy átalakítással és behelyettesítéssel kapjuk

Innen

Tehát a megoldandó egyenletünk

amely egy elsőrendű, inhomogén, konstans együtthatós, lineáris differenciálegyenlet és amelynek megoldását például a Laplace-transzformáltak segítségével határozhatjuk meg.

A számolás során felhasználjuk a Laplace-transzformáltaknál tanultakat nevezetesen, hogy

valamint, hogy a konstans c függvény Laplace-transzformáltja .

Ezek után kapjuk, hogy

Innen a parciális törtekre bontás módszerét alkalmazva haladunk tovább, nevezetesen

vagyis

ahonnan

Így

Felhasználva, hogy

kapjuk a megoldást, amely

Ha a kezdeti feltétel , akkor szimmetria okokból a megoldás

Egyensúlyi (stacionárius) eloszlás

Legyen . A megfelelő egyenleteknél határértéket véve könnyen láthatjuk, hogy

Vegyük észre, hogy a rendszerünk egyensúlyi állapotban elveszti a kezdeti állapottól való függését!

4.3. Példa. Határozzuk meg a -t a stacionárius állapotegyenletek segítségével!

Megoldás: Stacionárius állapotban az időtől való függés eltűnik, így a baloldali deriváltak nullák lesznek. Ezek után egyszerű átrendezéssel és a normalizáló feltétel kihasználásával kapjuk a kívánt értékekett, vagyis

4.4. Példa. Határozzuk meg a -t az átlagok segítségével!

Megoldás: Az idő folyamán az állapotok váltják egymást és a működési idők + a javítási idők úgynevezett ciklusokat alkotnak, amelyek ráadásul még függetlenek is egymástól. Nem csak exponenciális eloszlás, hanem általános eloszlás esetén is igaz, hogy a stacionárius valószínűségeket úgy kaphatjuk meg, hogy megnézzük az átlagos ciklushossz hányad részét adja az érintett állapotban való átlagos tartózkodási idő.

Esetünkben

A megbízhatóság-elméletben nagyon fontos szerepet játszanak a rendszer első meghibásodásáig eltelt idők. Ezek eloszlása nyilvánvalóan függ attól, hogy milyen kezdeti állapotból indulunk ki. Az alábbi példa ezt a probléma kört érinti.

4.5. Példa. Tegyük fel, hogy van egy két, paraméterű exponenciális működési időközökkel rendelkező gépből álló rendszerünk és egy paraméterű javítási idővel rendelkező szerelőnk. Tegyük fel még azt, hogyha mindkét gép elromlik akkor a rendszer végérvényesen leáll és nincs több szerelés. Jelentse , hogy hány gép rossz és a rendszer induljon a 0 állapotból. Legyenek a működési és javítási idők függetlenek. Határozzuk meg az első meghibásodásig eltelt átlagos időt!

Megoldás: Mint ahogyan az előző példánál is tettük jelentse azt az állapotot, hogy hány gép rossz, . Mivel a -es állapotnál a rendszer meghibásodik, ezért onnan nincs visszatérés. Az exponenciális eloszlás tulajdonságai miatt, könnyű látni, hogy az állapotok közötti átmenetek intenzitását az alábbi ábrával szemléltethetjük

4.1. ábra - A példa állapot átmenetei

A már jól ismert módon az állapotegyenletekre az alábbi differenciálegyenlet-rendszert kapjuk

kezdeti feltétel mellett.

Elég és meghatározása mivel

A Laplace-transzformáltat véve mindkét oldalon, majd a megfelelő átalakításokat elvégezve kapjuk

Így

Hibamentes működési idő eloszlása

Jelölje a rendszer hibamentes működési idejét.

Könnyű látni, hogy

A jól ismert képlet alapján ezért

mivel

Tehát

-nál nincs javítás és ekkor a képletünk egyszerűsödik, vagyis

mint ahogyan ezt a párhuzamosan kapcsolt elemekből álló nem javítható rendszernél láttuk.

Természetesen magát a sűrűségfüggvényt is meghatározhatjuk, ha többet szeretnénk megtudni és nem csak az átlagra vagyunk kíváncsiak. Ezt megtehetjük az alábbi módon.

meghatározása

Ha az -t akarjuk kiszámítani, akkor nyilvánvalóan . Ezért a Laplace-transzformált tulajdonságai alapján a következő összefüggéseket írhatjuk fel

Vagy másképpen

vagyis

ahol

Így

Ezért

4.6. Példa. Módosítsuk az előző peldadatot annyiban, hogy a rendszer most az 1-es állapotból induljon! Határozzuk meg ebben az esetben is a hibamentes működés idő várható értékét!

Megoldás: Az előző példához viszonyítva csak a kezdeti feltétel változott meg, vagyis most azt az egyenletrendszert kell megoldani, csak kiinduló értékkel. Vagyis

Ezek után hasonló gondolatmenetet követve, mint az előbb

Így

Ebből az átlag

Speciálisan a nem javítható rendszernél esetben ami nyilvánvaló és a jó számítást bizonyítja.

Legyen az i-edik állapotból való indulás esetén az első meghibásodás átlagos ideje. Ekkor az előző eredmények alapján

Látható, hogy , hiszen

4.7. Példa. Mi annak a valószínűsége, hogy egyensúlyi állapotban független elemből álló rendszernél darab működik?

Megoldás: A megoldás kulcsa a eloszlás, hiszen egyensúlyi állapotban a működés valószínűsége és elemből darabnak kell jónak lennie, vagyis

A párhuzamos rendszer átlagos működési idejének a meghatározása

Jelöljük -val a rendelkezésre állás (készenléti tényezőt), ami annak a valószínűsége, hogy egyensúlyi állapotban a rendszer működik. Az független, párhuzamosan kapcsolt elemből álló rendszer pontosan akkor működik ha legalább egy eleme működik, tehát akkor nem működik ha mindegyik eleme hibás, amelynek a valószínűsége .

Így

Jelentse a hibás állapotban való átlagos tartózkodási időt, míg a működő állapotban való átlagos tartózkodási időt. Ekkor a rendszerre vonatkozóan

Ebből

Párhuzamosan kapcsolt rendszer esetén

Az értéket onnan kaptuk, hogy a hibás állapotban való tartózkodási idő paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó, hiszen ez éppen darab paraméterű exponenciális eloszlású javítási idő minimuma.

4.8. Példa. Vegyünk egy olyan rendszert ahol két gép és két szerelő van! Az előbbiekhez hasonlóan jelöljük 0-val azt az állapotot amikor mind a két gép jó, 1-el amikor az egyik gép jó, a másik nem, míg 2-vel amikor mind a két gép hibás. A működési idők paraméterű, míg a javítási idők paraméterű független exponenciális eloszlású valószínűségi változók. Írjuk fel a megfelelő egyenleteket!

Megoldás: Érthető módon az átmenetek intenzitását az alábbi ábra mutatja, melyből az egyenletek és a kezdeti feltétel a szokásos módon könnyen felírhatók. Nevezetesen

4.2. ábra - 2 gép, 2 szerelő

4.9. Példa. Változtassuk meg az előző példát annyival, hogy nem 2 hanem 1 szerelő van! Határozzuk meg egyensúlyi valószínűségeket, a rendszer hibamentes működési idejének átlagát valamint azt, hogy a szerelő átlagosan mennyi ideig lesz foglalt!

Megoldás: Értelemszerűen módosítjuk az átmenetintenzitásokat, melyet az alábbi ábra mutat, majd ezt követően írhatjuk fel a kívánt egyensúlyi egyenleteket és a normalizáló feltételt. Nevezetesen

4.3. ábra - 2 gép, 1 szerelő

Rövid számolással kapjuk, hogy

A második kérdés megválaszolásánál használjuk fel, hogy

Mivel a rendszer addig lesz a 2 állapotban amíg onnan valamelyik ki nem lép így , hiszen a javítási idő paraméterű exponenciális. A készenléti tényező pedig ebben az esetben .

A harmadik kérdés megválaszolásához vezessük be a következő jelölést: az átlagos tétlenségi idő, míg az átlagos foglaltsági idő. Ekkor

ahonnan kapjuk, hogy

Jelen esetben , gép esetén .

4.10. Példa. Hasonlítsuk össze 1 és 2 szerelő esetén az átlagos működési időket a rendszerre vonatkozóan! Jelölje 1 szerelő esetén, 2 szerelő esetén az átlagos működési időt.

Megoldás: Két szerelő esetén

Az előzőekben megmutattuk, hogy ha a rendszer a 0 állapotból indul akkor az első meghibásodás átlagos ideje

Könnyű látni, hogy

Egy szerelő esetén

Tehát

Mint látható ebben az esetben nem lehet különbséget tenni, hogy az a jó ha 1 vagy ha 2 szerelő van.

4.11. Példa. Vegyünk egy heterogén 2 szerelős rendszert ahol az i-edik elem és intenzitásokkal jellemezhető, azaz a működési idők paraméterű, a javítási idők paraméterű, független exponenciális eloszlású valószínűségi változók, i=1,2.

Határozzuk meg az időtől függő eloszlást, ha kezdetben mindkét gép működött! Mi lesz stacionárius esetben az átlagos működési ideje a párhuzamosan kapcsolt rendszernek?

Mi lesz az átlagos működési ideje ha nincs javítás?

Megoldás: A rendszer működésének a leírására az eddigiekhez hasonlóan be kell vezetni néhány jelölést, ügyelve, hogy heterogén gépekkel van dolgunk! Éppen ezért jelölje azt az állapot amikor mindkét gép jó, amikor az -es indexű hibás, amikor a -es indexű rossz, és végül amikor mindkettő rossz. Látható, hogy ekkor az állapotok átmenetének intenzitása kicsit bonyolultabb, mint ahogyan az alábbi ábra mutatja.

Menjünk tovább. Legyen most egy ábra:

4.4. ábra - A példa állapot átmenet diagramja

A szokásos módon az időtől függő eloszlásra az alábbi differenciálegyenlet-rendszert írhatjuk fel

Időtől függő eloszlás

Ennek megoldása pedig

A további rendszerjellemzők pedig

Stacionárius eset

Jelentse Mint korábbról tudjuk

Ezt felhasználva kapjuk, hogy

Ezek után az átlagos működési idő

4.12. Példa. Vegyünk egy heterogén elemekből álló szerelős rendszert ahol az i-edik elem és intenzitásokkal jellemezhető, azaz a működési idők paraméterű, a javítási idők paraméterű, független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók, i=1,2.

Határozzuk meg különböző kiszolgálási elvek mellett a rendszer egyensúlyi jellemzőit!

Párhuzamos kapcsolást feltételezve számítsuk ki a rendszer első meghibásodásának a várható idejét, ha kezdetben mindkét gép működött!

FIFO kiszolgálási elv

Először vezessük be az alábbi állapotokat, amelyek azt jelölik, hogy melyik gép és milyen sorrendben hibásodott meg! A rendszer értelemszerűen a javító egységet jelenti.

Az állapotok átmenetintenzitását az alábbi ábra mutatja.

4.5. ábra - FIFO kiszolgálási elv

Egyensúlyi állapotban az egyenletek és a normalizáló feltétel

Megoldásuk

Az előző példa jelölését megtartva, a rendszerben tartózkodó igények számának eloszlása

A rendszerjellemzők

Processor-sharing kiszolgálási elv

Ezen kiszolgálási elvnél, ha több igény van a rendszerben a kiszolgálási intenzitás egyenletesen oszlik meg az igények között, vagyis igény esetén feleződik. Az állapotok lényegében ugyanazok maradnak, kivéve, hogy most nem számít melyen sorrendben jöttek be az igények.

Az állapotok átmenetintenzitását az alábbi ábra mutatja

4.6. ábra - Processor-sharing kiszolgálási elv

Könnyű látni, hogy egyensúlyi állapotban az egyenletek és a normalizáló feltétel

Ennek megoldása

Rendszerjellemzők

Abszolút prioritásos kiszolgálási elv

Ezen elv mellett ha mindkét gép hibás, akkor az -es indexűt javítja a szerelő, mert az a fontosabb. Hiába szolgálta ki a -es indexűt, ha a fontosabb igény beérkezik, akkor az éppen folyamatban levő kiszolgálása megszakad és a fontosabbat szolgálják ki. Az állapotok ugyanazok maradnak, de az átmenetintenzitások értelemszerűen változnak, mint ahogyan a következő ábrán láthatjuk.

4.7. ábra - Abszolút prioritásos kiszolgálási elv

Könnyű látni, hogy egyensúlyi állapotban az egyenletek és a normalizáló feltétel

valamint a hibás gépek számának eloszlása

Megoldás

A rendszerjellemzők

Egyszerű behelyettesítéssel látható, hogy homogén esetben mindhárom kiszolgálási elvnél a hibás gépek számának eloszlása ugyanaz lesz, nevezetesen

mint ahogyan a korábbi példáknál is láttuk.

A rendszer első meghibásodásának az átlagát a Laplace-transzformált kiszámítása nélkül, a teljes várható érték és az exponenciális eloszlás tulajdonságainak a felhasználásával határozhatjuk meg. Ehhez szükségünk van a következő jelölésekre.

Jelölje a rendszer első meghibásodásának az átlagát ha az állapotból indulunk ki, . Ekkor felírhatjuk az alábbi egyenleteket

Ebből a megoldás

Megoldás:

Speciálisan a esetben, vagyis amikor nincs javítás a 2.3. Példa eredményeit kapjuk vissza, azaz