Legyen

az úgynevezett teljes Gamma-függvény ( függvény ). Mutassuk meg, hogy

Megoldás: A bizonyításhoz parciális integrálást fogunk használni, így

mivel az első tag értéke 0, amit a szokásos L'Hospital-szabály alkalmazásával láthatunk be.

Könnyű látni, hogy , és ezért vagyis -t a faktoriális függvény általánosításának is tekinthetjük.

Mutassuk meg, hogy

Megoldás:

A helyettesítést bevezetve így

Határozzuk meg az paraméterű -eloszlás várható értékét, szórásnégyzetét és -dik momentumát!

Megoldás:

ahol

Az helyettesítést bevezetve

mivel .

Hasonlóan

Ebből

Vagyis a szóródási együttható négyzete , ami lehet -nél nagyobb és kisebb is.

Ezek után

Speciálisan esetben az paraméterű Erlang-eloszlást kapjuk és ekkor

Ebből -nél az exponenciális eloszlást nyerjük, amelyre

Határozzuk meg az paraméterű Pareto-eloszlás várható értékét és szórásnégyzetét!

Megoldás:

Így

Legyen , és , ahol . Határozzuk meg eloszlásfüggvényét!

Megoldás:

vagyis paraméterű Pareto-eloszlást kapunk.