Mutassuk meg, hogy az exponenciális eloszlásra teljesül a

úgynevezett örökifjú tulajdonság!

Megoldás:

Határozzuk meg a paraméterű exponenciális eloszlás -dik momentumát!

Megoldás:

A L'Hospital-szabály alkalmazásával látható, hogy az első tag értéke és így

Ebből a rekurziót figyelve

következik.

-ban két független exponenciális eloszlású ideig tartó tevékenység kezdődik. Az egyik ideig tart, ahol paraméterű exponenciális eloszlású, a második ideig, ahol paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Legyen , , .

Ezek után határozzuk meg

1. az első (azaz a rövidebb ideig tartó) tevékenység idejének az eloszlását és várható értékét ( eloszlását és várható értékét)

2. annak a valószínűségét, hogy az esemény fejeződik be előbb ()

3. az első és a második esemény befejezése közti idő eloszlását és várható értékét( eloszlását, várható értékét)

4. annak a valószínűségét, hogy egy tetszőleges időpillanatban

4.1 az esemény már befejeződött és az esemény még nem ()

4.2 az első esemény már befejeződött és a második még nem ()

4.3 mindkét esemény befejeződött ()

5. az a) és c) pontokban kapott valószínűségi változók összegének () eloszlását

6. X eloszlását, ha tudjuk, hogy ()

7. X eloszlását, ha tudjuk, hogy ()

8. X eloszlását, ha tudjuk, hogy ()!

Megoldás:

1. a rövidebb ideig tartó tevékenység befejezésének idejére

azaz, V paraméterű exponenciális eloszlású,

2. az esemény fejeződik be előbb

3. az első és második esemény befejezése közti idő

az feltétel mellett az hátralévő időtartama lesz, ami viszont az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága miatt

4. az esemény már befejeződött az még nem

az első esemény már befejeződött a második még nem

mindkét esemény befejeződött már

5. a és a valószínűségi változók összegének eloszlása

Mivel összefüggő valószínűségi változókról van szó nem lehet konvolúciót alkalmazni, hanem egyszerűen

6. X eloszlása, ha

7. X eloszlása ha

azaz paraméterű exponenciális eloszlás

8. X eloszlása ha

Mi a valószínűsége, hogy , ha , függetlenek?

Megoldás: A teljes valószínűség tétele alapján

Határozzuk meg a sorbakapcsolt rendszer várható élettartamát, ha a független elemek élettartama exponenciális eloszlást követ!

Megoldás: Sorbakapcsolt rendszer esetén ez éppen

Párhuzamosan kapcsolt rendszer esetén mi a rendszer élettartamának várható értéke és szórásnégyzete, ha homogének az elemek , és függetlenek?

Megoldás:

Használjuk fel, hogy ha akkor

A helyettesítést alkalmazva kapjuk, hogy

A exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságából következik, hogy a meghibásodások közötti időtartamok is exponenciális eloszlásúak lesznek. Könnyen látható, hogy a -dik és -dik meghibásodás közötti idő paramétere , , és ezek az időtartamok egymástól függetlenek is az exponenciális eloszlás tulajdonságai miatt. Ezt a tényt nagyon jól tudjuk hasznosítani a -dik meghibásodás várható értékének és szórásnégyzetének a meghatározásához.

Ezek után érthető módon

Ebből a párhuzamosan kapcsolt rendszer élettartamának szórásnégyzete

Legyenek , , független valószínűségi változók.

Mutassuk meg, hogy

Megoldás:

miatt

így

melyből következik az állítás.

Hasonlóan

így

melyből következik az állítás.

Bizonyítsuk be, hogy az paraméterű Erlang-eloszlásnak az eloszlásfüggvénye

Megoldás:

Parciális integrálást alkalmazva, ahol kapjuk, hogy

Következményként láthatjuk, hogy

Legyen és függetlenek. Határozzuk meg a konvolúciójukat!

Megoldás:

Határozzuk meg az előző példában meghatározott eloszlás várható értékét!

Megoldás:

amit az összefüggésből is megkaphattunk volna, de ezzel a sűrűségfüggvény helyességét ellenőriztük.

A 2-fázisú hipo-exponenciális eloszlás sűrűségfüggvényéből származtassuk a paraméterű Erlang-eloszlás sűrűségfüggvényét!

Megoldás: Mint láttuk

Ebből határértékkel nyerjük a kívánt sűrűségfüggvényt.

ezért alkalmazzuk a L'Hospital-szabályt! Ekkor -et kapunk, ami éppen a kívánt eredmény.

Határozzuk meg a 2-fázisú hipo-exponenciális eloszlás eloszlásfüggvényét!

Megoldás:

Ebből határátmenettel a L'Hospital-szabály alkalmazásával

-et kapunk, ami éppen a paraméterű Erlang-eloszlás eloszlásfüggvénye.

Legyenek , független valószínűségi változók. Határozzuk meg az feltételes sűrűségfüggvényt!

Megoldás:

Ha , akkor L'Hospital-szabállyal helyettesítéssel

vagyis egyenletes eloszlást kapunk.

Ha eleve a feltételből indulunk, akkor

mivel paraméterű Erlang-eloszlást követ.

Mi az paraméterű Erlang-eloszlás szóródási együtthatója?

Megoldás:

Mutassuk meg, hogy a hiper-exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye valóban sűrűségfüggvény!

Megoldás: A nemnegativitás egyből látható, valamint

Mutassuk meg, hogy a hiper-exponenciális eloszlás szóródási együtthatója mindig legalább 1!

Megoldás: Ehhez azt kell belátnunk, hogy

ami éppen a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwartz-egyenlőtlenség

értékekkel.

Legyenek , , független valószínűségi változók.

Mutassuk meg, hogy

Megoldás: Jól ismert, hogy

amely az állításunkat igazolja.

Az speciális esetben az exponenciális eloszlásra kapott összefüggéseket kapjuk.