Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet
kezdeti feltétel mellett!
Megoldás: A homogén rész
A konstans variálás módszerével nyerjük az inhomogén rész egy partikuláris megoldását, vagyis
így a partikuláris megoldás
Ebből az általános megoldás
A 
feltételből következik, hogy 
így 
.
Ezért
Ha a kezdeti feltételt 
akkor a megoldás a következő
Ha 
Határozzuk meg, hogy mi annak a valószínűsége, hogy 
független gépből a t-edik pillanatban k darab működik, feltételezve, hogy kezdetben n darab gép működött és m darab gép volt hibás!
Megoldás:
Stacionárius esetben
Hideg tartalék
Legyen adott egy főgép amelynek működési ideje 
paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó és meghibásodás esetén egy tartalék kezd el működni, valamint két szerelő van. A javítási idő 
paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. A meghibásodások és javítások függetlenek egymástól. Határozzuk meg a rendszer egyensúlyi jellemzőit!
Megoldás: A rendszer az egyes állapotokból a következő intenzitásokkal megy át.
A stacionárius esetet vizsgálva vezessük be a szokásos jelöléseket ! Jelentse 
annak a valószínűségét, hogy i darab gép rossz.
Ekkor a jól ismert módon az alábbi egyensúlyi egyenletrendszert írhatjuk fel
Innen
A normalizáló feltételt felhasználva kapjuk, hogy
Meleg tartalék
Meleg tartalék esetén mindkét gép működik, viszont a második gép működési ideje 
(
) paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Határozzuk meg most is az egyensúlyi rendszerjellemzőket!
Ebből
Végül
Legyen adott egy olyan gép amelynél hiba esetén szükség van még egy detektálásra is mielőtt míg javításra kerülne. Legyen a detektálási idő 
paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó! Írjuk fel egyensúlyi helyzetben az állapotegyenletek, majd oldjuk meg őket!
Megoldás:
Innen
A 
normalizáló feltételt felhasználva kapjuk, hogy
Tegyük fel, hogy van egy két, 
paraméterű exponenciális működési időközökkel rendelkező gépből álló rendszerünk és egy 
paraméterű javítási idővel rendelkező szerelőnk. Tegyük fel még azt, hogy ha mindkét gép elromlik akkor a rendszer végérvényesen leáll és nincs több szerelés. Jelentse 
, hogy hány gép rossz és a rendszer induljon a 0 állapotból. Határozzuk meg az első meghibásodásig eltelt átlagos időt feltételezve, hogy kezdetben mindkét gép működött!
Megoldás: A stacionárius állapotegyenletek a következő módon származtatjuk
Így a szokásos eljárást követve
kezdeti feltételek mellett. Laplace-transzformáltat alkalmazva és felhasználva az ott tanultakat kapjuk, hogy
Innen rövid számolással nyerjük, hogy
Felhasználva, hogy 
, melyet a 
normalizáló feltétel ad kapjuk, hogy
Innen az inverziós eljárással megkaphatjuk 
-t ami annak a valószínűsége, hogy egyetlen gép sem üzemel a t-edik időpillanatban.
Legyen 
a rendszer első elromlásának az ideje!
Ekkor 
azt jelenti, hogy a rendszer t-edik időpillantban vagy előtte romlott el. A rendszer megbízhatósága ekkor
Ennek a Laplace-transzformáltja
A nevezőt 
alakra hozva, hogy később parciális törtekre bontást tudjunk alkalmazni kapjuk, hogy
Így
Innen
Az első meghibásodásig eltelt idő átlagát az alábbi módon határozhatjuk meg
kiszámítását megtehetjük anélkül is, hogy meghatároznánk a sűrűségfüggvényt, hiszen ismerjük 
Laplace-transzformáltját. Azaz
Abban az esetben, amikor a gépeket nem javítják, vagyis 
a 2 elemből álló párhuzamosan kapcsolt rendszert kapjuk, amit már korábban is vizsgáltunk. Ekkor a behelyettesítés után
és így
ami szintén azt bizonyítja, hogy először vesszük az első meghibásodás idejét, majd ehhez hozzáadjuk a megmaradt gép hátramaradt működési idejét. Az első 
paraméterű exponenciális, a második pedig 
paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Függetlenek egymástól, így összegük Laplace-transzformáltját kapjuk.
Tegyük fel, hogy van egy két, 
paraméterű exponenciális eloszlású működési időközökkel rendelkező gépből álló rendszerünk és két 
paraméterű exponenciális eloszlású javítási idővel rendelkező szerelőnk. Tegyük fel még azt, hogy a javítás csak akkor indul meg ha mindkét gép elromlik. Feltéve, hogy meghibásodások és javítások egymástól függetlenek, határozzuk meg a stacionáris eloszlást!
Megoldás: Vezessük be az alaábbi jelöléseket.
0 - mindkét gép működik
1 - 1 gép nem működik, nincs javítás
2 - 2 gép nem működik
3 - 1 gép nem működik, van javítás (2 meghibásodás utáni javítás)
A jól ismert módon egyensúlyi állapotban az egyenletek a következők lesznek
Innen egyszerűen kapjuk, hogy
Felhasználva az előzőeket és a normalizáló feltételt nyerjük, hogy
A készenléti tényező
Ezek után
