Az rendszer a legegyszerűbb nem-triviális rendszer. Emlékeztetünk rá, hogy ebben az esetben a beérkezési folyamat paraméterű Poisson-folyamat, vagyis a beérkezési időközök paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók. A kiszolgálási idők paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók. Feltesszük továbbá, hogy a beérkezési időközök, és a kiszolgálási idők egymástól független valószínűségi változók. Jelölje most a időpillanatban a rendszerben tartózkodó igények számát, és azt mondjuk, hogy a rendszer a állapotban van, ha . Mivel a fellépő valószínűségi változók exponenciális eloszlásúak, vagyis emlékezetnélküliek, az folytonos idejű Markov-lánc lesz.

Vizsgáljuk meg a rendszer állapotváltozásainak valószínűségeit egy adott időtartam alatt

Az összeg első tagja annak a valószínűsége, hogy a rendszerben egy igény érkezett, és nem szolgáltak ki egyet sem. Az összeg második tagja pedig annak a valószínűségét adja, hogy a rendszerbe 2 vagy több igény érkezett, és a beérkezettnél eggyel kevesebb került kiszolgálásra. De ez a valószínűség éppen -val egyenlő, így

Az előbbiekhez hasonlóan írható fel annak valószínűsége, hogy a rendszer állapotban volt és a időtartam után a állapotba került

Könnyen látható továbbá, hogy

Tehát egy olyan születési-halálozási folyamattal van dolgunk, amit a születési és halálozási intenzitások alábbi megválasztásával lehet jellemezni

Vagyis az összes születési intenzitás , az összes halálozási intenzitás pedig . Feltesszük, hogy végtelen hosszúságú sorok is létrejöhetnek, és az igények kiszolgálása FIFO elv alapján történik.

Helyettesítsük be az intenzitásokat a születési-halálozási folyamatoknál kapott 10.1 képletbe, így a következő adódik

vagyis

Az eredmény kézenfekvő. Az ergodikusság feltétele általánosságban (és így annak is, hogy egy stacionárius megoldást kapjunk) és ; esetünkben az első feltétel

Az sor akkor és csak akkor konvergens, ha

Az ergodicitás második feltétele esetünkben

Ez akkor teljesül, ha . Tehát az ergodikusság szükséges és elégséges feltétele az sor esetén egyszerűen . A valószínűség kiszámolásához a normalizáló feltételt használjuk és azt kapjuk, hogy

Mivel , ezért a sor konvergens, és így

A kihasználtsági tényező vagy . A stabilitás feltétele miatt a

egyenlőséget meg kell követelni, ez biztosítja, hogy legyen. Így

amely valóban valószínűségi eloszlás, nevezetesen a módosított geometriai eloszlás.

A rendszer jellemzői:

1. A rendszerben tartózkodó igények átlagos száma

A rendszerben tartózkodó igények számának szórásnégyzete

2. A várakozó igények átlagos száma (átlagos sorhossz)

A sorhossz szórásnégyzete

3. A szerver kihasználtsága

10.1 Tétel alapján látható, hogy

ahol a kiszolgáló átlagos foglaltsági periódushossza, a tétlenségi idő várható értéke. Mivel a szerver addig tétlen, amíg igény nem érkezik, az pedig exponenciális eloszlású paraméterrel. Így

melyből

Megmutatjuk, hogyan lehet másképpen meghatározni a kiszolgáló átlagos foglaltsági periódushosszát.

Ehhez szükségünk lesz az alábbi jelölésekre.

Jelölje egy átlagos foglaltsági periódushossz alatt beérkezett igények átlagos számát, egy átlagos foglaltsági periódushossz alatt távozott igények átlagos számát, valamint egy igény kiszolgálása alatt beérkezett igények átlagos számát! Nyilvánvalóan

melyekből behelyettesítés után

adódik, vagyis a formulát más módon is ellenőriztük. Ezek után

4. Egy igény tartózkodási idejének eloszlása

Megmutatjuk, hogy olyan sorbanállási rendszernél, amelybe az igények Poisson-folyamat szerint érkeznek,

ahol - mint korábban is - annak valószínűsége, hogy a pillanatban a rendszer a állapotban van, pedig annak valószínűsége, hogy egy a pillanatban érkező igény a rendszert a állapotban találja. Jelölje

azt az eseményt, hogy egy beérkezés történik a intervallumban. Ekkor

Felhasználva a feltételes valószínűség definícióját,

Poisson-folyamat esetén tudjuk, hogy (az emlékezetnélküliség miatt) az esemény nem függ a pillanatban a rendszerben tartózkodó igények számától (és magától a időtől sem), ezért

így születési és halálozási folyamatok esetére is

Azaz, annak valószínűsége, hogy egy beérkező igény a rendszert a állapotban találja, éppen azzal a valószínűséggel egyezik meg, hogy a rendszer a állapotban van.

Egyensúlyi állapotban a (10.2) összefüggést alkalmazva esetben ugyanezt az eredményt kapjuk.

Ha egy tetszőleges pillanatban egy igény érkezik, lesz annak a valószínűsége, hogy nem kell várakoznia, hisz ekkor a rendszer üres. Minden más esetben várakoznia kell. Tegyük fel, hogy az érkezés pillanatában igény tartózkodik a rendszerben. Ekkor az érkező igénynek meg kell várnia, míg a kiszolgálás alatt álló igény kiszolgálása befejeződik és az előtte álló igény is elhagyja a rendszert, majd őt is kiszolgálták.

Feltettük, hogy a kiszolgálások egymástól függetlenek és paraméterű exponenciális eloszlásúak. Köztudott, hogy az exponenciális eloszlás emlékezetnélküli, így a kiszolgálás alatt levő igény eloszlása független attól mióta folyik a kiszolgálás, ezért a várakozási idő Erlang- eloszlású és paraméterrel és a tartózkodási idő is Erlang- eloszlású, de és paraméterrel. Emlékeztetőül az és paraméterű Erlang-eloszlás sűrűségfüggvénye

Ezért a teljes valószínűség tételének felhasználásával a tartózkodási idő sűrűségfüggvénye

Az eloszlásfüggvény

Vagyis azt kaptuk, hogy a tartózkodási idő is exponenciális eloszlású paraméterrel.

Ezért a rendszerbeli tartózkodási idő várható értéke és szórásnégyzete

Továbbá, nyilvánvalóan

5. Egy igény várakozási idejének eloszlása

A gondolatmenet az előzőhöz hasonló, de most az Erlang eloszlás tagból áll.

Jelölje egy tetszőleges igény várakozási idejének sűrűségfüggvényét, . A teljes valószínűség tétele értelmében

Tehát

Így

Az átlagos várakozási idő

Az is látható, hogy miatt, ahol és függetlenek

ebből

ami éppen .

Vegyük észre, hogy

Továbbá

Az (11.1), (11.2) összefüggéseket Little-formuláknak nevezzük, melyek általánosabb esetben is igazak maradnak.

Most vizsgáljuk meg az rendszer állapotát a távozási pillanatokban, mert ki akarjuk számolni az igények távozási időközének az eloszlását. Mint ahogyan az (10.3) összefüggésnél láttuk a távozási pillanatokban az eloszlás

Poisson beérkezés esetén , ezért .

Ezek után határozzuk meg a távozási időközök Laplace-transzformáltját, mely a feltéles Laplace-transzformáltak súlyozott összege azon feltétel mellett, hogy a távozási pillanatban a kiszolgáló tétlen vagy foglalt.

Nyilvánvalóan

hiszen, ha tétlen, akkor a következő igénynek először be kell érkezni majd ezt ki kell szolgálni. Ebből

ami azt mutatja, hogy a távozási időközök ugyancsak paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók. A kiszolgálási és beérkezési időközök függetlenségéből következik a távozási időközök függetlensége is, ezért a távozási folyamat paraméterű Poisson-folyamat.

Ez azért fontos, mert ha több típusú kiszolgálási csomópont van egymás után sorbakötve (tandem sorbanállási hálózat), akkor mindegyiknél a beérkezési folyamat paraméterű Poisson-folyamat és a csomópontok független -típusú rendszerként vizsgálhatók. Ekkor beérkezési és kiszolgálási intenzitással az -edik csomóponthoz jelölést bevezetve az összes rendszerjellemzőt meg tudjuk határozni a már ismert módon. A hálózatban lévő igények száma érthető módon az egyes csomópontokban lévő igények összege és a tartózkodási és várakozási idők összege adja a hálózatra vonatkozó időket.

Most mutassuk meg, hogyan adhatjuk meg sűrűségfüggvényét a Laplace-transzformált nélkül! Ekkor is a teljes valószínűség tételét alkalmazva

Ezek után nézzük meg, hogy rendszer esetén milyen kiszolgálási idő mellett teljesül, hogy a távozási folyamat ugyancsak paraméterű Poisson-folyamat. Először lássuk be, hogy . Mint korábban is megmutattuk stacionárius rendszernél esetben is az átlagos foglaltsági periódus alatt távozó igények száma 1-el nagyobb ezen periódus alatt beérkezett igények átlagos számánál, képletekben ez azt jelenti, hogy

ahol az átlagos beérkezési időköz várható értékét jelöli. Ebből

ahol . Nyilvánvalóan

Így az rendszer kihasználtsága . esetén , ezért a kiszolgálási időre vonatkozó kérdésünk az alábbit jelenti

így

ez viszont az várható értékű exponenciális eloszlás Laplace-transzformáltja. Vagyis csak exponenciális eloszlású kiszolgálási idők esetén lesz a távozási folyamat a beérkezési folyamattal megegyező

11.1. Példa. Egy postahivatalban naponta 70 személy fordul meg (a posta mindennap 10 óra hosszat van nyitva) óránként 10 személyt képesek kiszolgálni. Tételezzük fel, hogy a beérkezések megfelelnek a Poisson-folyamat jellegzetességeinek, és a kiszolgálás exponenciális eloszlású. Mekkora lesz a várakozó sor átlagos hossza, mi annak a valószínűsége, hogy sorban 2-nél több személy várakozzék? Mennyi a várható sorbanállási idő? Mennyi annak a valószínűsége, hogy a várakozás 20 percnél több időt vesz igénybe?

Megoldás: Legyen az időegység óra, akkor , ,