Ezen modellre csatornás veszteséges rendszerként is szokás hivatkozni az alábbiak miatt. Az csatornás rendszerbe Poisson-folyamat szerint érkeznek az igények. Ha van üres csatorna vagy szerver az igény kiszolgálása exponenciális időtartamú paraméterrel. Ha minden kiszolgáló egység foglalt, akkor az igény elvész, azaz sorbanállás nem megengedett. Ezen probléma a tömegkiszolgálás egyik legrégibb problémája, mellyel a század elején a telefonközpontok kihasználtságával kapcsolatban foglalkozott A. K. Erlang és C. Palm. Hasonló jelenséggel találkozunk például a parkoló helyek esetében is.

A feltételek alapján ez a rendszer is egy születési-kihalási folyamattal modellezhető, melynek intenzitásai a következők

Azt mondjuk, hogy a folyamat az állapotban van, ha kiszolgáló foglalt, azaz ha igény tartózkodik a rendszerben.

Nyilvánvalóan az ergodikus eloszlás létezik, mivel a folyamat véges állapotterű. A stacionárius eloszlás

A normalizáló feltétel miatt

így

A rendszer egyik jellemzője a

valószínűség, melyet először Erlang vezetett be (1917-ben) és Erlang-féle veszteségformula vagy Erlang-féle B-formula néven ismert, általában szimbólummal jelöljük.

A Bayes-formula felhasználásával könnyű látni, hogy annak a valószínűsége stacionárius esetben, hogy egy újonnan érkező igényt nem fogad a rendszer, mert telített, azaz az igény elvész. Kis -re a valószínűség könnyen kiszámolható. Nagy -re és kis -ra , így

azaz a Poisson-eloszlás. Nagy -re és nagy -ra általában

Ebben az esetben a nevező a közepű Poisson-eloszlás első tagjának összege. Elegendő nagy -ra () a centrális határeloszlás-tétel miatt a Poissson-eloszlást közelítjük közepű és szórású normális eloszlással, így

ahol

és

A -ra azonban fel tudunk írni egy nagyon fontos rekurziós összefüggést is, hiszen

A kezdeti feltételből kiindulva bármely -re meg tudjuk határozni a -t. Ez azért fontos, mert nagyobb kiszolgáló számnál a faktoriális nem számolható, de a rekurzió még mindig működik.

Például esetben a pontos képletet nem tudjuk kiszámolni, de a közelítés és a rekurziós képlet értéket ad.

nagyon fontos szerepet játszik a gyakorlati problémák megoldásában ezért külön úgynevezett kalkulátorokat írtak, melyek megtalálhatók a

internet címen. A pontos és közelítő érték összehasonlítására mi is írtunk egy Java Script-et, amely megtalálható az alábbi linken

Az rendszer jellemzői:

1. A rendszerben tartózkodó igények átlagos száma, a foglalt szerverek átlagos száma

így szerverre jutó átlagos igényszám

2. A szerverek kihasználtsága

Mint már láttuk

Jelen esetben

3. Az átlagos tétlenségi idő (egy konkrét kiszolgáló esetén)

A jól ismert összefüggést alkalmazva

ahol az átlagos tétlenségi idő. Így

tehát

Ha az üres szerverek olyan sorrendben kezdik kiszolgálni az érkező igényeket, mint amilyen sorrendben megüresedtek, akkor egy szerver működését a következőképpen írhatjuk le. Ha egy üressé vált szerver másik üres szervert talál megüresedése pillanatában, akkor csak a -edik igény kiszolgálásával kezdődik ismét a foglaltsági periódusa.

Jelölje a szerver átlagos üresjárati periódusa hosszát, pedig a fenti állapotban az átlagos tétlenségi időt. Nyilvánvalóan , pedig a teljes várható érték tétele alapján:

azaz más úton is ugyanarra az eredményre jutunk.

4. A rendszer átlagos foglaltsági periódushossza

Nyilvánvalóan

melyből

11.4. Példa. Egy parkolóhoz az autók másodpercenként érkeznek, és átlagosan percig maradnak. A beérkezés Poisson, a kiszolgálás exponenciális.

Milyen nagynak kell lennie a parkolónak, hogy egy autó 1% eséllyel forduljon vissza, mert a parkoló telített?

Megoldás:

A normális eloszlással való approximációt követve

Ebből

A normális eloszlás táblázatából nem nehéz ellenőrizni, hogy .

Ekkor közelítése: ,

a pontos értéke pedig:

11.5. Példa. Egy csatornás telefonközpontba átlagosan percenként érkeznek hívások Poisson-eloszlás szerint. A kiszolgálási idő exponenciális, perc átlaggal.

Határozzuk meg a rendszer jellemzőit!

Megoldás: Esetünkben Poisson-közelítés vehető, így

a Poisson-eloszlás szerint, sőt még -nál is

. Ez azt jelenti, hogy igény szinte sohasem lesz elutasítva.

A foglalt csatornák átlagos száma

így az egy csatornára jutó átlagos igényszám

és ez egyben a csatornák kihasználtsága

ami a rendszer kihasználatsága.

A rendszer átlagos foglaltsági periódushossza

A csatornák átlagos tétlenségi ideje

A csatornák átlagos foglaltsági ideje

Heterogén kiszolgálók esete

Az rendszer esetében feltesszük, hogy az i-edik kiszolgáló intenzitással szolgálja ki az igényeket, melyek érkezésükkor egyenlő valószínűséggel választanak a tétlen kiszolgálók közül. Ekkor nem elég tudni, hogy hány igény van a rendszerben, hanem ismernünk kell a foglalt kiszolgálók indexét is. Ezért nem születési-halálozási folyamattal, hanem általánosabb állapotterű Markov-lánccal van dolgunk.

Ha jelöli a foglalt kiszolgálók indexeit, amelyek nyilvánvalóan az -ad osztályú kombinációi, akkor a Markov-lánc állapotterét a indexhalmazok alkotják.

Jelölje

a folyamat stacionárius eloszlását, amely létezik, mivel az állapottér véges és irreducibilis. A szokásos módon felírhatjuk a stacionárius állapotegyenleteket, amelyek a következő alakot öltik

ahol az indexek növekvő sorrendbe rendezett halmazát jelöli, és pedig nincs értelmezve, ott az összegzést értelem szerint kell venni! Bár látszólag bonyolult egyenletrendszerrel van dolgunk, amelyben az ismeretlenek száma , megmutatjuk, hogy a megoldás viszonylag egyszerű, nevezetesen

ahol , , , amely a

normalizáló feltételből kapható meg.

Először nézzük meg az első állapotegyenletet! Behelyettesítve

Majd a harmadik egyenletnél végezzük el a behelyettesítést

Végül a legbonyolultabb, második esetet nézzük meg!

ami az egyenlőséget mutatja.

Ezek után a szokásos rendszerjellemzők a következők

1. a -edik kiszolgáló kihasználtsága

majd ebből

ahol az -edik kiszolgáló átlagos tétlenségi periódushossza

2.

3. Az igényvesztés, vagy blokkolás valószínűsége pedig .

Ebben az esetben is igaz, hogy .

Homogén esetben, vagyis amikor ,

vagyis a jól ismert képleteket kapjuk.

Meg kell jegyezni, hogy ezek a képletek tetszőleges, véges várható értékű kiszolgálási idők mellett is érvényesek.