Ismét olyan állandó beérkezési intenzitású rendszert vizsgálunk, melyben korlátlan hosszúságú sor kialakulása megengedett. A rendszer db kiszolgálóval (szerverrel) van ellátva. Ez az eset is leírható születési-halálozási folyamattal a következők miatt. Először is tekintsünk független, paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változókat. Jelöljük -val ezen () változók minimumát. Nem nehéz belátni, hogy is exponenciális eloszlású lesz paraméterrel. Ugyanis

Ezt felhasználva kapjuk meg annak valószínűségét, hogy a rendszer a idő alatt a állapotból a állapotba, ill. a állapotból a állapotba kerül. Így

ahol

Könnyen látható, hogy az ergodikusság feltétele .

Amikor hozzákezdünk a mennyiségek kiszámolásához, azt találjuk, hogy a megoldást két részre kell szétbontanunk, mivel a mennyiség kétféle módon függ -tól. Eszerint, ha , akkor

Ha viszont , akkor

Összefoglalva a kapott eredményeket

ahol

Ez az éppen egy kiszolgáló egység kihasználtsága. Továbbá

és így

Annak a valószínűsége, hogy egy újonnan érkező igénynek sorba kell állnia,

Ebből

Ezt a valószínűséget széles körben használják például a telefonrendszerek, call-centerek vizsgálatával kapcsolatban. Itt annak a valószínűségét adja meg, hogy egy újonnan beérkezett hívás (igény) számára nincs szabad vonal (kiszolgáló egység) egy szerveres rendszerben. Ez az ú.n. Erlang-féle C-formula, vagy Erlang-féle várakozásos formula amit többnyire szimbólummal jelölünk.

Az rendszer jellemzői

1. Az átlagos sorhossz

2. A foglalt szerverek átlagos száma

3. A rendszerben tartózkodó igények átlagos száma

ami egyszerű megfontolásokból is adódik, hiszen egy igény vagy várakozik, vagy kiszolgálás alatt van. A kiszolgálás alatt levők száma viszont megegyezik a foglalt kiszolgáló egységek számával. Ha -gal jelöljük a szabad szerverek vagy kiszolgáló egységek átlagos számát, akkor

így

vagyis

4. A várakozási idő eloszlása

Egy érkező igénynek akkor kell várakoznia, ha a rendszerben legalább igény tartózkodik. Mivel ebben az esetben a kiszolgálás paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó, az igény várakozási ideje, ha igény tartózkodik a rendszerben Erlang-eloszlású és paraméterekkel. Így a teljes valószínűség tétele alapján a várakozási idő sűrűségfüggvénye

Behelyettesítve a stacionárius eloszlást

Vagyis

A várakozási idő eloszlásfüggvénye

Innen az átlagos várakozási idő

5. A tartózkodási idő eloszlása

A kiszolgálás azonnal elkezdődik, ha a rendszerben -nél kevesebb igény tartózkodik, így stacionárius esetben egy érkező igény rendszerben eltöltött ideje megegyezik a kiszolgálási idővel. Azonban, ha várakoznia kell, akkor a várakozási idő és a kiszolgálási idő összege, vagyis az eloszlás két független eloszlás összege, mely közül az egyik paraméterű exponenciális, a másik pedig a rendszertől függő paraméterű Erlang-eloszlás. A tartózkodási idő sűrűségfüggvényét a következő módon határozzuk meg.

Tudjuk, hogy

Ekkor

Ezért

Így

Innen

Továbbá

mint az várható volt.

Stacionárius esetben a távozó igények átlagos számának meg kell egyeznie az érkező igények átlagos számával, így a rendszerben tartózkodók átlagos száma állandó. Tehát annyi igény tartózkodik átlagosan a rendszerben, amennyi érkezik egy igény tartózkodási ideje alatt, vagyis

továbbá

Ezek az ú.n. Little-formulák, melyeket számolás útján is könnyen bizonyíthatunk. Ugyanis, mint beláttuk

Mivel

így

vagyis

mivel . Továbbá

hiszen

6. A szerverek összkihasználtsága

Egy szerver kihasználtsága nyilvánvalóan

Így az összkihasználtság

7. A foglaltsági periódushosszak

A rendszert akkor nevezzük tétlennek, ha a rendszerben nem tartózkodik igény, minden más esetben foglaltnak nevezzük. Jelölje a a rendszer átlagos foglaltsági periódushosszát. Ekkor (4) miatt a rendszer kihasználtsága

melyből

Ha az egyes kiszolgáló egységeket tekintjük és feltesszük, hogy üres egységnél, szervernél ahhoz érkezik hamarabb igény, amely korábban vált üressé, akkor ha igény tartózkodik a rendszerben, a szabad szerverek száma .

Tekintsünk egy konkrét szervert és tegyük fel, hogy a rendszerben igény tartózkodik a szerver szabaddá válása pillanatában. Ekkor ezen szerver átlagos üresjárati ideje ilyen feltételek mellett

Annak a valószínűsége, hogy ebben az állapotban van

így egy szerver átlagos szabad periódushossza

ahol annak a stacionárius valószínűsége, hogy egy érkező igénynek nem kell várakoznia. Ekkor ismét

melyből

ahol annak stacionárius valószínűsége, hogy a szerver nem üres, pedig az átlagos foglaltsági periódushossza. Így

esetben

így

amely a jól ismert képlet.

A következő sorokban megmutatjuk, hogy milyen kapcsolat van az Erlang-féle veszteséges rendszer és a jelenlegi rendszer között, melyet szokás Erlang-féle várakozásos rendszernek is nevezni.

Először tárjuk fel a két formula közötti kapcsolatot! Nevezetesen

Mint láttuk a , amely a várakozás valószínűségét jelenti nagyon fontos szerepet játszik a jellemzők meghatározásában. Az előző formula átírható az alábbi alakba

sőt azt is be lehet bizonyítani, hogy

amely a kezdőértékből rekurzívan számolható.

Ha minőségi mutatónak -t adjuk meg, akkor mindig létezik olyan , melyre . Ha rendelkezésünkre áll számítógép a feladatot pillanatok alatt meg lehet oldani.

Mi azonban egy olyan eljárást mutatunk be, amit a döntéshozók könnyen használhatnak.

Mint korábban is láttuk

Legyen , így . Ezért

Azaz, ha keresni akarunk olyan -ot, amelyre , akkor az

egyenletet kell megoldani, amely ekvivalens a

egyenlettel. Ha adott , akkor .

Fontos megjegyezni, hogy keresése független a -tól és -től, így különböző -ra előre megadhatók.

Például ha , akkor a hozzájuk tartozó -k rendre . Az képletet négyzetgyök-szabálynak is hívják, és nagyon jó közelítést ad, mint ahogyan a következő táblázat is mutatja.

11.1. ábra - Az pontos és közelítő értékei

Nézzünk gyorsan egy példát, ahol jelentős többletkiadástól szabadulhatunk meg, ha alkalmazzuk a négyzetgyök-szabályt!

Vegyünk két call-centert, ahová először külön-külön érkeznek az ügyfelek. Ekkor összesen ügyfélfogadót kellene alkalmazni. Ha azonban az ügyfeleket egyesítjük, akkor ugyanolyan szintű szolgáltatáshoz kiszolgálót kell alkalmazni. A megtakarítás

nagyon fontos szerepet játszik a gyakorlati problémák megoldásában ezért külön úgynevezett kalkulátorokat írtak, melyek megtalálhatók a

internet címen.

11.6. Példa. Adott egy 4 csatornás telefonközpont, , .

Határozzuk meg a rendszer jellemzőit!

Megoldás:

11.7. Példa. Egy repülőtér kifutópályáinak számát úgy kell meghatároznunk, hogy a leszállni kívánó repülőgép várakozásának valószínűsége 0.1-nél kisebb legyen. A befutások statisztikai vizsgálata megmutatta, hogy megengedhető a repülőgépek érkezését Poisson-eloszlással közelíteni. Óránként átlagosan érkezést mértek. A kifutópálya elfoglaltságának időtartamát exponenciális eloszlásúnak tételezzük felel perc várható értékkel.

Megoldás:

Mivel az idő mértékegysége különböző először is mindkét helyen órára nézzük az intenzitásokat. Így az ismert képleteket értékkel kell alkalmazni. feltétel biztosítására kell, hogy legyen.

Jelölje a várakozási valószínűségét kifutópálya esetén. Számolással a megfelelő képletbe való helyettesítéssel a következő valószínűségeket kapjuk

Így a kívánt valószínűség eléréséhez értéket kell tekinteni. lesz és ekkor a

11.8. Példa. Egy üzlet pénztárához a vevők átlagban 6 másodpercenként érkeznek Poisson-eloszlás szerint. A kiszolgálási idejük exponenciális eloszlású, másodperc átlaggal. Ha egy pénztár fenntartása óránként Ft-ba kerül, és ugyanennyi a várakozási költség is, mennyi pénztárt kell üzemeltetni, hogy a teljes költség várható értéke minimális legyen? (Ez óránkénti költség lesz.)

Megoldás:

Sorba véve az értékeket, az óránkénti minimális várható költség esetben adódik. Ekkor a rendszer jellemzői